Ensino Superior ⇒ Determine os valores de A

[graça]

Determine os valores de [tex3]A\in\mathbb{R}[/tex3] tais que a projeção ortogonal do vetor [tex3]v=(2,a)[/tex3] sobre o vetor [tex3]w= (3,2)[/tex3] tenha módulo igual a [tex3]1[/tex3]

Resposta

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R :[tex3]a=\frac{\sqrt{13}+6}{2}[/tex3] ou [tex3]a=\frac{\sqrt{13}-6}{2}[/tex3]

[miguel747]

Boa noite graça,

Bem a questão ela precisa ser bem entendida: precisamos ter ideia do que é uma projeção ortogonal, e as operações com vetores.
Sendo assim, somos capazes de responder:

Vejamos o gráfico

grafico3.jpg (14.91 KiB) Exibido 647 vezes

Teremos que relacionar o vetor [tex3]\vec{k}[/tex3], que é a projeção ortogonal (a sombra) do vetor [tex3]\vec{v}[/tex3] em relação no vetor [tex3]\vec{w}[/tex3] de módulo igual a 1, com os vetores [tex3]\vec{v}[/tex3] e [tex3]\vec{w}[/tex3].

Temos que se o vetor [tex3]\vec{k}[/tex3] tem módulo igual a 1 e é paralelo ao vetor [tex3]\vec{w}[/tex3]. Podemos concluir que [tex3]\vec{k}[/tex3] é o vetor unitário de [tex3]\vec{w}[/tex3].

Calculando o módulo de [tex3]\vec{w}[/tex3]: [tex3]|w|=\sqrt{3^2+2^2}[/tex3] = [tex3]\sqrt{13}[/tex3][tex3](I)[/tex3]

então: [tex3]\vec{k} = \frac{\vec{w}}{|w|} = \frac{<3,2>}{\sqrt{13}}\,\,(II)[/tex3]

Sabe-se que a projeção é dada por:

[tex3]k = \left(\frac{(\vec{v}.\vec{w})}{|w|^2}\right )w[/tex3]
[tex3]\begin{cases}\vec{v}.\vec{w} = 2.3 + 2.a = 6 + 2a\\|w|^2 = (\sqrt{13})^2 = 13\end{cases}[/tex3]

[tex3]\vec{k} = \frac{6+2a}{13}<3,2>[/tex3]. Utilizando a equação [tex3](II)[/tex3]:
[tex3]\frac{1}{\sqrt{13}}<3,2> = \frac{6+2a}{13}<3,2>[/tex3].

Para que os dois vetores sejam igual é suficiente que seus escalares sejam iguais, então:

[tex3]\frac{6+2a}{13} = \frac{1}{\sqrt{13}}\Right 6\sqrt{13}+2\sqrt{13}a = 13\Right a = \frac{\sqrt{13}-6}{2}[/tex3].

Abs,