Pré-Vestibular ⇒ (FGV - 2008 - 2ª Fase) Funções Exponenciais Tópico resolvido

[Jeff]

Poderiam me ajudar a resolver essa problema?

O rendimento de um carro flex (número de quilômetros que percorre com um litro de combustível), que pode ser movido por uma mistura de álcool com gasolina em qualquer proporção, é dado pela função [tex3]R(x) = K\cdot a^x[/tex3] quilômetros por litro, na qual [tex3]K[/tex3] e [tex3]a[/tex3] são números reais positivos e [tex3]x,\,(0 \leq x \leq 1)[/tex3] é a porcentagem de álcool misturado com gasolina.
Sabe-se que, abastecido com 100% de gasolina, o rendimento é de 18 quilômetros por litro e que, com 100% de álcool, cai para 9 quilômetros por litro.
Se, ao iniciar uma viagem, uma pessoa enche o tanque do carro com 50 litros de uma mistura de álcool com gasolina e chega ao seu destino, depois de rodar 600 kg, com o tanque praticamente vazio, qual a porcentagem de álcool na mistura?

[FilipeCaceres]

Olá Jeff,

Temos,
[tex3]R(x) = K\cdot a^x[/tex3]

...abastecido com 100% de gasolina, o rendimento é de 18 quilômetros por litro e que...

[tex3]18= K\cdot a^0 \Rightarrow k=18[/tex3]

...com 100% de álcool, cai para 9 quilômetros por litro.

[tex3]9=18\cdot a^1\Rightarrow a=\frac{1}{2}[/tex3]

Assim temos
[tex3]R(x) = 18\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x[/tex3]

Como ele andou [tex3]600km[/tex3] com [tex3]50l[/tex3], temos que ele fez [tex3]12km/l[/tex3]. Assim temos,
[tex3]12= 18\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x[/tex3]
[tex3]2= 3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x[/tex3]
[tex3]log 2=log 3 +log\left(\frac{1}{2}\right)^x[/tex3]
[tex3]log 2=log3-xlog2[/tex3]
[tex3]x=\frac{log3-log 2}{log 2}[/tex3], acredito que tinha alguma tabela de logartimos.

Usando os valores conhecidos,
[tex3]x=\frac{0,477-0,301}{0,301}[/tex3], estes números não são muito amigáveis para fazer esta divisão.
[tex3]x=0,58[/tex3]
[tex3]\boxed{x=58 \%}[/tex3]



Abraço.

[Jeff]

obrigado, o problema da uma tabela com o valor de log3 arrendodado para 0,48 com que faz que a resposta seja 60% como dado em uma das alternativas.