Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: Permutações com Elementos Repetidos Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Quantos são os números naturais de [tex3]7[/tex3] dígitos nos quais o dígito [tex3]4[/tex3] figura exatamente [tex3]3[/tex3] vezes e o dígito [tex3]8[/tex3] exatamente duas vezes ?

Resposta:

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[tex3]12960[/tex3]

[goncalves3718]

Temos [tex3]7[/tex3] casas para serem preenchidas.

[tex3]3 [/tex3] casas serão ocupados pelo algarismo [tex3]4[/tex3], temos então [tex3]35[/tex3] possibilidades.

[tex3]\frac{7\cdot6\cdot5}{3!}=35[/tex3]

Restam [tex3]4[/tex3] casas, mas duas dessas casas restantes devem ser ocupadas pelo algarismo [tex3]8[/tex3]. Temos então [tex3]6 [/tex3] possibilidades.

[tex3]\frac{4\cdot 3}{2!}= 6[/tex3]

Restam [tex3]2[/tex3] casas, não podemos mais utilizar os algarismos [tex3]4[/tex3] e [tex3]8[/tex3] , temos então [tex3]\{0,1,2,3,5,6,7,9\}[/tex3] ( 8 algarismos)

[tex3]8 \cdot 8 =64[/tex3]

Logo:

[tex3]35 \cdot 6\cdot 64= 13.440[/tex3]

Vamos agora retirar os casos em que o algarismo [tex3]0[/tex3] ocupa a primeira posição.
Com o algarismo [tex3]o[/tex3] ocupando o primeiro algarismo, restam [tex3]6[/tex3] casas

Dessas [tex3]6[/tex3], três são ocupadas pelo algarismo [tex3]4[/tex3], temos então [tex3]20[/tex3] possibilidades.

[tex3]\frac{ 6\cdot 5\cdot 4}{3!}= 20[/tex3]

Restam [tex3]3[/tex3] casas, das quais [tex3]2[/tex3] serão ocupadas pelo algarismo [tex3]8[/tex3], portanto temos [tex3]3[/tex3] possibilidades.

[tex3]\frac{3 \cdot 2}{2!}=3[/tex3]

Resta [tex3]1[/tex3] casa que pode ser ocupada pelos [tex3]8[/tex3] algarismos restantes.

Portanto [tex3]20\cdot 3 \cdot 8= 480[/tex3]

Retirando:

[tex3]13.440 -480 = 12.960[/tex3]

Atenciosamente, goncalves3718