Ensino Fundamental ⇒ Racionalização de denominadores

[Úrsula]

Boa tarde!

Racionalize o denominador da fração seguinte:

[tex3]\frac{15}{\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4}[/tex3]

[emanuel9393MOD]

Olá, Úrsula!


Vamos transcrever aqui o denominador:


[tex3]\sqrt[3]{49} \, - \, 2 \sqrt[3]{7} \, + \, 4 \\ = \, 7^{\frac{2}{3}} \, - \, 2 \, \cdot \, 7^{\frac{1}{3}} \, + \, 4[/tex3]


Fazendo [tex3]7^{\frac{1}{3}} \, = \, x[/tex3], vem:

[tex3]7^{\frac{2}{3}} \, - \, 2 \, \cdot \, 7^{\frac{1}{3}} \, + \, 4 \\ = \, x^{2} \, - \, 2x \, + \, 4 \\ = \, \left(x \, + \, 2 \right)^{2} \\ = \, \left(\sqrt[3]{7} \, + \, 2 \right)^{2}[/tex3]


Vamos decompor [tex3]\left(\sqrt[3]{7} \, + \, 2 \right)^{2}[/tex3] em fatores para visualizarmos melhor a racionalização:


[tex3]\left(\sqrt[3]{7} \, + \, 2 \right)^{2} \, = \, \left(\sqrt[3]{7} \, + \, 2 \right) \, \cdot \, \left(\sqrt[3]{7} \, + \, 2 \right)[/tex3]

O número que precisamos para racionalizar esse denominador é [tex3]\left(\sqrt[3]{49} \, - \, 2 \right)^{2}[/tex3]

veja:

[tex3]\, \left(\sqrt[3]{7} \, + \, 2 \right) \, \cdot \, \left(\sqrt[3]{7} \, + \, 2 \right) \,\,\,\,\,\,\, \cdot \,\,\,\,\,\,\, \, \left(\sqrt[3]{49} \, - \, 2 \right) \, \cdot \, \left(\sqrt[3]{49} \, - \, 2 \right) \, = \, \left(7 \, - \, 2 \right)^{2} \, = \, 25[/tex3]


Resposta: [tex3]\left(\sqrt[3]{49} \, - \, 2 \right)^{2} \,\,\, \cdot \,\,\, \left(\sqrt[3]{49} \, - \, 2 \sqrt[3]{7} \, + \, 4 \ \right) \, = \, 25[/tex3]



Um abraço!