Ensino Médio ⇒ Matemática Financeira - Montante Tópico resolvido

[Walcris1408]

7 - Um capital aplicado durante um semestre a juros compostos, a uma taxa de juros nominal de 20% ao ano, com capitalização trimestral. No final do periodo, os juros apresentaram um valor de R$1.334,55. O valor do montante desta aplicação é igual a

Resposta

---

GABARITO: R$ 14.354,55

[VALDECIRTOZZI]

Se a capitalização é trimestral e o ano tem 4 trimestres temos:
[tex3]C{(1+i)}^4=1,2.C[/tex3], onde [tex3]C[/tex3] é o capital inicial da aplicação e [tex3]i[/tex3] é a taxa de juros trimestral.
Temos, então, que [tex3]1+i=\sqrt[4]{1,2}[/tex3], de onde: [tex3]i=\sqrt[4]{1,2}-1=0,046635[/tex3] ao trimestre
Pela fórmula de juros compostos:
[tex3]M=C{(1+i)}^t[/tex3], onde [tex3]M[/tex3] é o montante da aplicação e [tex3]t[/tex3] é o tempo da aplicação em trimestres.
[tex3]C+j=C{(1+i)}^t[/tex3], onde [tex3]j[/tex3] é o juros.
[tex3]C+1334,55=C{(1,046635)}^2[/tex3]
[tex3]C+1334,55=1,095445C[/tex3]
[tex3]C=13982,40[/tex3]
[tex3]M=C+j=13982,40+1334,55=15316,95[/tex3]

O valor acima é onde chego,o quye não é o do gabarito fornecido. Caso alguém possa verificar o meu erro agradeceria muito.

[olgario]

Se a capitalização é trimestral e o ano tem 4 trimestres temos:
[tex3]C{(1+i)}^4=1,2.C[/tex3], onde [tex3]C[/tex3] é o capital inicial da aplicação e [tex3]i[/tex3] é a taxa de juros trimestral.
Temos, então, que [tex3]1+i=\sqrt[4]{1,2}[/tex3], de onde: [tex3]i=\sqrt[4]{1,2}-1=0,046635[/tex3] ao trimestre
Pela fórmula de juros compostos:
[tex3]M=C{(1+i)}^t[/tex3], onde [tex3]M[/tex3] é o montante da aplicação e [tex3]t[/tex3] é o tempo da aplicação em trimestres.
[tex3]C+j=C{(1+i)}^t[/tex3], onde [tex3]j[/tex3] é o juros.
[tex3]C+1334,55=C{(1,046635)}^2[/tex3]
[tex3]C+1334,55=1,095445C[/tex3]
[tex3]C=13982,40[/tex3]
[tex3]M=C+j=13982,40+1334,55=15316,95[/tex3]

O valor acima é onde chego,o que não é o do gabarito fornecido. Caso alguém possa verificar o meu erro agradeceria muito.

Olá VALECIRTOZZI !

Gostava que me explicasse como resolveu os seguintes casos enunciados abaixo, para chegar ao tal valor a que chegou.

[tex3]C+j=C{(1+i)}^t[/tex3], onde [tex3]j[/tex3] é o juros.
[tex3]C+1334,55=C{(1,046635)}^2\;(I)[/tex3] _ Neste caso,creio que elevou o membro da Drt.ª ao quadrado por um semestre ser igual a 2 trimestres, certo ?

[tex3]C+1334,55=1,095445C \;(II)[/tex3] --> Mas agora aqui, no caso [tex3](II)[/tex3], como é que você passa dessa equação com 2 incógnitas iguais, uma somando num membro, e outra multiplicando noutro ? Resolveu em relação a qual, para passar à situação seguinte do caso [tex3]\;(III)[/tex3] de modo a ficar apenas com uma ?

[tex3]C=13982,40\;(III)[/tex3]
[tex3]M=C+j=13982,40+1334,55=15316,95[/tex3]

É um pouco esquisito, estive tentando, e não consegui enxergar como fez isso. Nunca consegui me livrar das duas. Na volta, o seu erro possivelmente está aí.
No caso [tex3](I)[/tex3] o enunciado, até faz sentido. Mas será que a fórmula a aplicar é essa mesmo ? __ (Eu também não sei. Confesso que tinha curiosidade em ver esse problema resolvido.
Estive pesquisando alguns sites sobre o tema, mas não encontrei nenhum semelhante para me orientar.)

Um abraço

[cajuADMIN]

Olá VALDECIRTOZZI e olgario,

Se a taxa é nominal, não podemos fazer o cálculo feito pelo VALDECIRTOZZI para encontrar a taxa em períodos menores. Ali, o que ele fez, foi transformar uma taxa efetiva em outra efetiva... mas a taxa de 20% dada no enunciado não é uma taxa efetiva, é uma taxa nominal.

Taxa nominal deve-se simplesmente dividir pelo período necessário para encontrar a taxa efetiva. Ou seja,

[tex3]\overbrace{20\%\text{a.a.}}^{\text{taxa nominal}} = \underbrace{10\% \text{a.s.}}_{\text{taxa nominal}} = \overbrace{\boxed{5\% \text{a.t.}}}^{\text{taxa efetiva}}[/tex3]

Portanto, nossa taxa efetiva é [tex3]5\%\text{ a.t}[/tex3] (ao trimestre) e as informações necessárias para o cálculo, são:

[tex3]i=0,05[/tex3]
[tex3]n=2[/tex3]
[tex3]M=C+j\,\,\rightarrow \,\,M=C+1334,55[/tex3]

Aplicando a fórmula [tex3]M=C\cdot(1+i)^n[/tex3]

[tex3]C+1334,55=C\cdot(1+0,05)^2[/tex3]

[tex3]C+1334,55=C\cdot(1,05)^2[/tex3]

[tex3]C+1334,55=C\cdot 1,1025[/tex3]

[tex3]1334,55=1,1025C -C[/tex3]

[tex3]1334,55=0,1025C[/tex3]

[tex3]C=\frac{1334,55}{0,1025}[/tex3]

[tex3]\boxed{C=13020}[/tex3]
Como o exercício pede o montante, temos [tex3]M=13020+1334,55=\boxed{\boxed{14354,55}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[olgario]

Olá ! Caro Professor Caju.

Em primeiro lugar, quero parabeniza-lo, pelo excelente trabalho que tem vindo a fazer relativamente ao fórum. Considero que está muito bem estruturado, muito bem enquadrado, muito completo. Além do mais, considero existir uma certa armonia nas cores utilizadas, o que revela o seu sentido estético.
Por tudo isso, parabéns pelo seu trabalho, e pelo seu empenho.


Quanto à questão colocada pelo VALDECIRTOZZI, pelos visto, ele apenas se enganou quanto ao achar da taxa, o que aliás eu até pensava estar certo.
Mas a minha dúvida, era fundamentalmente sobre a resolução da equação, no que toca á seguinte igualdade:
__ E agora aqui, faço referência à sua equação e não à dele. Embora apenas difiram no valor do 2.º membro, afinal é a sua que tem os valores certos:

[tex3]C+1334,55\,=\,C\cdot1,1025[/tex3]

[tex3]1334,55\,=\,1,1025\cdot C-C[/tex3] ----> Neste caso, eu não sabia o que fazer com o [tex3](-C)[/tex3].

Mas agora depois de pensar e raciocinar mais atentamente deduzi que :

[tex3]C+1334,55\,=\,C\cdot(1+0,05)^2[/tex3]

[tex3]C+1334,55\,=\,C(1+0,1+0,0025)[/tex3]

[tex3]C+1334,55\,=\,1C+0,1C+0,0025C[/tex3]

[tex3]\boxed{1.C}+1334,55\,=\,1,1025.C[/tex3] ----> Qualquer variável está sempre a multiplicar pela unidade.(Por vezes [tex3]\text{ }[/tex3] esqueço-me desse pormenor, e depois não enxergo o óbvio.)

[tex3]1334.55\,=\,\boxed{1,1025.C-1.C}[/tex3] ----> Ao passar para o membro oposto muda para o seu simétrico.

[tex3]1334.55\,=\,\boxed{1,1025.C-1.C}[/tex3] ----> Como aditivo e subtractivo estão ambos a multiplicar pela variável [tex3]\,C\,...[/tex3]

[tex3]1334.55\,=\boxed{\,1,1025.C-1,000.C}[/tex3]

[tex3]1334,55\,=\boxed{\,0,1025.C}[/tex3] -----> ... Esta manter-se-à, após a subtracção.

E daí vem:

[tex3]C\,=\,\frac{1334.55}{0,10252}[/tex3]

[tex3]\boxed{C\,=\,13020}[/tex3]

Como vê, a minha dúvida, apesar de ser genérica, dado que pensava que o valor da taxa estava certo, era mais devido a uma falta de atenção, sobre a tal variável [tex3]\,C.\,[/tex3] Mas está agora dissipada.
Pela minha parte, agradeço-lhe o ter resolvido a questão.

Sem mais,

Um abraço.