Olimpíadas ⇒ (EUA) Sistema de base fatorial Tópico resolvido

[theblackmamba]

O número 695 é escrito no sistema de base fatorial , isto é [tex3]695=a_1+a_2 \cdot 2! + a_3 \cdot 3! + ...+ a_n \cdot n![/tex3], onde [tex3]a_1,\,a_2,\,...\,a_n[/tex3] são inteiros tais que [tex3]0\leq a_k \leq k[/tex3] e [tex3]n!=n\cdot (n-1)\cdot(n-2)\cdot ... \cdot 2 \cdot1[/tex3]. Encontre [tex3]a_4[/tex3].

Resposta

---

3

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

Acho que para resolver esta equação devemos fazer por tentativas, certas coisas são fáceis de ver, como:
[tex3]695=a_1+2\cdot a_2 + 6\cdot a_3+24\cdot a_4+120\cdot a_5[/tex3]

Veja que não teremos [tex3]a_6[/tex3] pois [tex3]6!=720>695[/tex3].

Como [tex3]0\leq a_k \leq k[/tex3] o valor máximo de [tex3]a_5=5[/tex3] pois [tex3]0\leq a_5 \leq 5[/tex3]

Assim temos,
[tex3]695=a_1+2\cdot a_2 + 6\cdot a_3+24\cdot a_4+120\cdot 5[/tex3]

Para [tex3]a_4=4[/tex3] teremos [tex3]120\cdot 5+24\cdot 4=696>695[/tex3]

Para [tex3]a_4=3[/tex3] temos,
[tex3]695=a_1+2\cdot a_2 + 6\cdot a_3+24\cdot 3+600[/tex3]
[tex3]695=a_1+2\cdot a_2 + 6\cdot a_3+672[/tex3]

Para [tex3]a_3=3[/tex3] temos,
[tex3]695=a_1+2\cdot a_2 + 6\cdot 3+672[/tex3]
[tex3]695=a_1+2\cdot a_2 + 690[/tex3]

Para [tex3]a_2=2[/tex3]
[tex3]695=a_1+2\cdot 2 + 690[/tex3]
[tex3]695=a_1+694[/tex3]

Desta forma [tex3]a_1=1[/tex3]

Assim temos,
[tex3]695=1+2\cdot 2 + 6\cdot 3+24\cdot \underbrace{3}_{a_4}+120\cdot 5[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{a_4=3}[/tex3]

Abraço.