IME / ITA ⇒ (ITA - 1973) Geometria Espacial Tópico resolvido

[adrianotavares]

Seja [tex3]S[/tex3] uma semi-esfera de raio [tex3]R[/tex3] dado.Sejam [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] dois planos paralelos e distantes entre si [tex3]\frac{R}{2}[/tex3] e tais que interceptam [tex3]S[/tex3] paralelamente à sua base. Seja [tex3]T[/tex3] o tronco de cone com bases [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3], onde [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] são as interseções de [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] com [tex3]S[/tex3]. Seja [tex3]x[/tex3] o valor da menor das distâncias [tex3]d[/tex3] e [tex3]D[/tex3], onde [tex3]d[/tex3] é a distância entre [tex3]p[/tex3] e a base de [tex3]S[/tex3], e [tex3]D[/tex3] é a distância entre [tex3]q[/tex3] e a base de [tex3]S[/tex3].

Seja [tex3]K= [(R^2-x^2)(R^2-(x+\frac{R}{2})^2)]^{\frac{1}{2}}[/tex3]

Então o volume de [tex3]T[/tex3], como função de [tex3]x[/tex3], [tex3]0 \leq x \leq \frac{R}{2}[/tex3], vale:

a) [tex3]\frac{\pi R}{6}(\frac{7}{4}R^2-2x^2-Rx+K)[/tex3]

b) [tex3]\frac{\pi R}{12}(\frac{7}{4}R^2-2x^2-Rx+K)[/tex3]

c) [tex3]\frac{\pi R}{12}(\frac{7}{4}R^2-2x^2-Rx-K)[/tex3]

d) [tex3]\frac{\pi R}{6}(\frac{7}{4}R^2-2x^2-Rx-K)[/tex3]

e) [tex3]n.d.a[/tex3]

[FilipeCaceres]

Para ver uma solução veja o Problema 54 da Maratona de Matemática IME/ITA. Link

Abraço.