Pré-Vestibular ⇒ (UFV_MG 2010/2012) Funções

[jose carlos de almeida]

Sobre a função [tex3]f: R\rightarrow R[/tex3] sabe-se que:

I. [tex3]f[/tex3] é bijetora e sua inversa é [tex3]g[/tex3]
II. [tex3]f(a)=b^2-2[/tex3] e [tex3]g(2)=a[/tex3]
III. [tex3]f(b)=a^2+5[/tex3] e [tex3]g(21)=b[/tex3]

Com base nessas informações,é CORRETO afirmar que o número [tex3]a^2-b^2[/tex3] é divisível por:
A) 3
B) 7
C) 5
D) 11

Resposta

---

D

[FilipeCaceres]

Olá jose carlos de almeida,

De [tex3](I)[/tex3] tiramos que:
[tex3]f^{-1}(x)=g(x)[/tex3]

Sendo assim temos,
[tex3]g(2)=f^{-1}(2)=a[/tex3]
[tex3]g(21)=f^{-1}(21)=b[/tex3]

O que vai "matar" a questão é saber que:
[tex3]f(f^{-1}(x))=x[/tex3]

Logo,
[tex3]f(f^{-1}(2))=2[/tex3]
[tex3]f(a)=2[/tex3]
[tex3]b^2-2=2[/tex3]
[tex3]\boxed{b^2=4}[/tex3]

Analogamente,
[tex3]f(f^{-1}(21))=21[/tex3]
[tex3]f(b)=2[/tex3]
[tex3]a^2+5=2[/tex3]
[tex3]\boxed{a^2=-3}[/tex3]

Portanto,
[tex3]a^2-b^2=-3-4=-7[/tex3] que é divisível por [tex3]7[/tex3]. Letra B

Acredito que você pegou o gabarito errado.

Grande abraço.

[jose carlos de almeida]

Caro FilipeCaceres,realmente o gabarito desta prova está trocado,só que prá esta questão a resposta do gabarito original é a letra A.
Abraços.

[emanuel9393MOD]

O que vai "matar" a questão é saber que:
[tex3]f(f^{-1}(x))=x[/tex3]

Olá, Filipe!

Poderia detalhar mais essa parte?

Essa é umas das propriedades das funções bijetoras?


Um abraço!

[poti]

O que vai "matar" a questão é saber que:
[tex3]f(f^{-1}(x))=x[/tex3]

Olá, Filipe!

Poderia detalhar mais essa parte?

Essa é umas das propriedades das funções bijetoras?


Um abraço!

Sim. Basta pensar nos exemplos simples que você provavelmente já fez intuitivamente:

[tex3]tg(arctg(x)) = x[/tex3], [tex3]arctg(tg(x)) = x[/tex3]
[tex3]ln(e^x) = x[/tex3], [tex3]e^{lnx} = x[/tex3]

Para provar é simples. Seja [tex3]f(y) = x, \ \forall x \in A \subset \mathbb{R}[/tex3] (Pode ser dos inteiros ou naturais também, essa é apenas uma prova geral), sabemos que [tex3]f^{-1}[/tex3] inverte domínio com imagem, então: [tex3]f^{-1}(x) = y[/tex3].

Na composição [tex3]fof^{-1}(x) = f(f^{-1}(x)) = f(y) = x[/tex3], cqd.

Para [tex3]f^{-1}of(x)[/tex3] a demonstração é análoga.

Abraço.