Pré-Vestibular ⇒ (UFV-MG 2010/2012) Função Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

O crescimento populacional de uma determinada cidade obedece ao sequinte modelo de equação,[tex3]Q(t)=100+32(1-e^{-kt})[/tex3],onde [tex3]t[/tex3] é dado em anos,[tex3]Q(t)[/tex3] é dado em milhares de habitantes,no tempo [tex3]t[/tex3], e [tex3]k[/tex3] é uma constante específica desta cidade a ser determinada. Estima-se que daqui a três anos a população será de 128 mil habitantes. Então,de acordo com esse modelo,é CORRETO afirmar que daqui a cinco anos a população,em milhares de habitantes,será de:
A) 131
B) 132
C) 130
D) 133

Resposta

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A

[theblackmamba]

Para [tex3]t=3 \Rightarrow Q(3)=128[/tex3].
Para [tex3]t=5\Rightarrow Q(5)=?[/tex3]

[tex3]128 = 100+32(1-e^{-k{(3)}})[/tex3]
[tex3]28=32(1-e^{-3k})[/tex3]
[tex3]32e^{-3k} = 32-28[/tex3]
[tex3]e^{-3k}=\frac{1}{8}[/tex3]

[tex3]Q(5)=100+32(1-e^{-5k})[/tex3]

Temos de alguma forma de achar o valor de [tex3]e^{-5k}[/tex3].

Note que se elevarmos a nossa equação a [tex3]\frac{5}{3}[/tex3] temos:

[tex3](e^{-3k})^{\frac{5}{3}}=(\frac{1}{8})^{\frac{5}{3}}[/tex3]
[tex3]e^{-5k}=\sqrt[3]{8^{-5}}[/tex3], mas [tex3]8^{-5}=2^{-15}[/tex3]
[tex3]e^{-5k}= 2^{-5}=\frac{1}{32}[/tex3]

Voltando na outra equação:
[tex3]Q(5)=100+32(1-\frac{1}{32})[/tex3]
[tex3]Q(5)=100+32 \cdot \frac{31}{32}[/tex3]
[tex3]Q(5)=100+31[/tex3]
[tex3]\boxed{Q(5)=131\,\text{mil habitantes}}[/tex3]