Ensino Médio ⇒ Geometria Plana - Perímetro do Triângulo Tópico resolvido

[DarkSun]

I é o incentro do triângulo ABC da figura abaixo e tem lados AB=c, AC=b e BC=a. O perimetro do triângulo ARS, sabendo que RS//BC, é:

daum_equation_1332809132753.jpg (9.41 KiB) Exibido 4724 vezes

[FilipeCaceres]

Olá DarkSun,

No desenho está faltando a reta [tex3]RS[/tex3], sem esta informação podemos dizer que existe infinitos valores para o perímetro.

Aguardo o teu retorno.

Grande abraço.

[DarkSun]

Olá DarkSun,

No desenho está faltando a reta [tex3]RS[/tex3], sem esta informação podemos dizer que existe infinitos valores para o perímetro.

Aguardo o teu retorno.

Grande abraço.

A ilustração da questão não informa, mas pelo enunciado (semirreta RS paralela à BC) subentende-se que seja:

retaRS.png (11.85 KiB) Exibido 4651 vezes

Mas sinceramente não consegui nem ao menos imaginar como resolvo o exercício.

A Resposta da questão é:

Resposta

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b + c

[cajuADMIN]

Olá DarkSun,

Duas citações iniciais nesta questão.

1) Realmente, como você citou, podemos imaginar que os pontos R e S que o enunciado cita são, exatamente, os pontos que você mostrou. Mas, em uma prova, se não tiver provas concretas ou deduzíveis com teoremas e propriedades válidas, nunca podemos "achar" que os pontos estão ali. Ou seja, com este desenho dado, a questão seria anulada.

2) É muito comum os alunos olharem esse tipo de desenho e já pensar que o triângulo é isósceles. Novamente, repito, se não está citado no enunciado, ou se não tem teoremas e propriedades envolvendo as informações do enunciado, nunca podemos achar coisas. Sempre falo para meus alunos "nunca devemos acreditar no desenho". Acredite somente no enunciado ou em informações escritas.

Bom, vamos começar a resolução, imaginando que os pontos [tex3]R[/tex3] e [tex3]S[/tex3] são os pontos mostrados pelo DarkSun. Para ficar mais didático, vou utilizar um triângulo que não nos lembre um triângulo isósceles (pois o triângulo dado não é isósceles, é um triângulo qualquer).

Screen Shot 2012-03-28 at 21.20.31.png (16.34 KiB) Exibido 4645 vezes

O enunciado nos fala que [tex3]I[/tex3] é o incentro do triângulo (encontro das bissetrizes). Logo, temos que os ângulos [tex3]\angle RBI=\angle IBC[/tex3] e [tex3]\angle SCI=\angle ICB[/tex3].

Já que [tex3]RS\parallel BC[/tex3], podemos dizer que os ângulos [tex3]\angle SIC=\angle ICB[/tex3] e [tex3]\angle RIB=\angle IBC[/tex3].
Assim, os triângulos [tex3]RBI[/tex3] e [tex3]SIC[/tex3] são isósceles e, com isso, [tex3]RI=RB[/tex3] e [tex3]IS=SC[/tex3]

Pronto! Agora veja que sendo [tex3]AB=AR+RB[/tex3], podemos rescrever como [tex3]\boxed{AB=AR+RI}[/tex3] e, pelo mesmo raciocínio, [tex3]\boxed{AC=AS+SI}[/tex3].

Como o perímetro de [tex3]ARS[/tex3] é dado por [tex3]\underbrace{AR+RI}_{AB=c}+\overbrace{IS+AS}^{AC=b}[/tex3], temos que nosso perímetro nada mais é do que [tex3]b+c[/tex3].

Grande abraço,
Prof. Caju

[DarkSun]

Obrigado pela resposta.
Um dos meus erros foi realmente considerar o triângulo como sendo isósceles, a imagem me induziu a isto.
Mas de toda forma passei longe de conseguir resolver a questão.

Obrigado novamente.