Pré-Vestibular ⇒ (FATEC) Vértice da Parábola Tópico resolvido

[phanie]

O gráfico de uma funçao polinomial [tex3]f[/tex3] do 2 grau tem a reta [tex3]x = 3[/tex3] como eixo de simetria . Se o módulo da diferença entre as raízes de [tex3]f[/tex3] é [tex3]6[/tex3] unidades e [tex3]f[/tex3] tem valor maximo igual a [tex3]12[/tex3], entao :

Resposta

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resposta: f(x)= -4/3 x ^2 + 8x

o eixo de simetria é o mesmo que xv da parabola?

[VALDECIRTOZZI]

Se o eixo de simetria da parábola é a reta [tex3]x=3[/tex3] então [tex3]x_v=3[/tex3]
O seu ponto de máximo é [tex3]12[/tex3], portanto [tex3]y_v=12[/tex3]

Daí temos na equação da parábola:
[tex3]y=ax^2+bx+c[/tex3]
[tex3]12=a\cdot3^2+b\cdot3+c[/tex3]
[tex3]12=9a+3b+c[/tex3] [tex3](I)[/tex3]

Por outro lado, o problema nos diz que [tex3]|x_2-x_1|=6[/tex3] [tex3]\Longleftrightarrow[/tex3][tex3]x_2-x_1=6[/tex3] ou [tex3]x_2-x_1=-6[/tex3] [tex3](II)[/tex3]

Como [tex3]x_v=3[/tex3] podemos escrever que [tex3]\frac{x_2+x_1}{2}=3[/tex3] [tex3]\Longleftrightarrow[/tex3] [tex3]x_2+x_1=6[/tex3] [tex3](III)[/tex3]

De [tex3](II)[/tex3] e [tex3](III)[/tex3] montamos o sistema:

[tex3]\begin{cases} x_2-x_1=6 \\ x_2+x_1=6\end{cases}\Rightarrow ou \begin{cases} x_2-x_1=-6 \\ x_2+x_1=6\end{cases}[/tex3]

Resolvendo os sistemas obtemos que as raízes são [tex3]0[/tex3] e [tex3]6[/tex3] e a parábola cruza os pontos [tex3](0,0)[/tex3] e [tex3](6,0)[/tex3].

Com isso temos que a parábola passa pela origem dos eixos coordenados, e [tex3]c=0[/tex3]

A equação [tex3](I)[/tex3] fica: [tex3]12=9a+3b[/tex3] [tex3]\Longleftrightarrow[/tex3] [tex3]4=3a+b[/tex3] [tex3](IV)[/tex3]

Substituindo o ponto [tex3](6,0)[/tex3] na eqaução da parábola temos: [tex3]0=a\cdot6^2+b\cdot6[/tex3][tex3]\Longleftrightarrow[/tex3] [tex3]0=36a+6b[/tex3] [tex3]\Longleftrightarrow[/tex3] [tex3]0=6a+b[/tex3] [tex3](V)[/tex3]

Montando o sistema com [tex3](IV)[/tex3] e [tex3](V)[/tex3], temos:
[tex3]\begin{cases}4=3a+b \\ 0=6a+b\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistemas, obtemos [tex3]a=-\frac{4}{3}[/tex3] e [tex3]b=8[/tex3]

A função fica assim: [tex3]\boxed{y=-\frac{4}{3}\cdot x^2+8\cdot x}[/tex3]

Espero ter ajudado.

[phanie]

ajudou sim! obrigada!