Pré-Vestibular ⇒ (PAS/UnB - 2005) Geometria Plana Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

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Pitágoras foi um filósofo e matemático grego do século [tex3]VI[/tex3] [tex3]a.C[/tex3]. À escola pitagórica se devem conhecimentos matemáticos, geométricos e astronomia: tábua de multiplicação, sistema decimal, teorema do quadrado da hipotenusa. O pentagrama pitagórico, pentágono regular estrelado, era usado como emblema pelos membros da irmandade pitagórica.

Penta.jpg (33.39 KiB) Exibido 3160 vezes

Acerca do pentagrama ilustrado acima, julgue os itens que se seguem.

(1) Visto que o pentágono pode ser decomposto nos triângulos [tex3]ABC[/tex3], [tex3]ACD[/tex3] e [tex3]ADE[/tex3], concluí-se que a soma dos ângulos internos do pentágono é igual a [tex3]540^\circ[/tex3].
(2) Os triângulos [tex3]AB_1C[/tex3] e [tex3]EB_1D[/tex3] são semelhantes.
(3) Se [tex3]\alpha[/tex3] é o ângulo [tex3]EDA[/tex3], [tex3]\beta[/tex3] é o ângulo [tex3]DBE[/tex3] e [tex3]\gamma[/tex3] é o ângulo [tex3]BDC[/tex3], então [tex3]\alpha + \beta + \gamma > 130^\circ[/tex3].
(4) O ângulo [tex3]EDA[/tex3] é superior a [tex3]40^\circ[/tex3].
(5) Se [tex3]x[/tex3] é o comprimento do lado do pentágono, [tex3]y=EC_1[/tex3] e [tex3]z=C_1D_1[/tex3], então [tex3]\frac{x}{y}=\frac{2y+z}{x}[/tex3].
(6) O ponto de interseção das alturas dos triângulos [tex3]DAC[/tex3] e [tex3]ACE[/tex3] relativas às bases [tex3]DC[/tex3] e [tex3]AE[/tex3], respectivamente, é o ponto médio dessas alturas.

Resposta

---

C, C, E, E, C, E

[emanuel9393MOD]

Olá, Aldrin!


A afirmação (3) deu correta? Poderia verificar se afirmação é essa mesma?



Um abraço!

[emanuel9393MOD]

Vou responder as que sei.

Vamos lá:

(1)


Considere o ângulo [tex3]DAC \, = \, \alpha[/tex3], o ângulo [tex3]ADC \, = \, ACD \, = \, \beta[/tex3] e o ângulo interno do pentágono [tex3]n[/tex3]. Temos as seguintes equações:


No triângulo ADC:

[tex3]\alpha \, + \, 2 \beta \, = \, 180^{0}[/tex3]


Nos triângulos AED e ABC:


[tex3]n \, + \, \left(n \, - \, \beta\right) \, + \, \left( \frac{n \, - \, \alpha}{2} \right) \, = \, 180^{0} \\ 5n \, - \, \left( \alpha \, + \, 2\beta \right) \, = \, 360^{0} \\ 5n \, - \, 180 \, = \, 360 \\ \boxed{5n \, = \, 540^{0}}[/tex3]

Verdadeiro


(2)

Veja que, conforme a regra dos opostos pelo vértice, temos [tex3]AB_{1}C \, = \, EB_{1}D[/tex3].

Observe, também que, como o pentágono é regular, o segmento de reta [tex3]AC[/tex3] é paralelo ao segmento [tex3]ED[/tex3]. Conforme a regra dos ângulos alternos e internos [tex3]EDB_{1} \, = \, B_{1}AC[/tex3].

Verdadeiro

(3)

Veja que o triângulo [tex3]BC_{1}D[/tex3] é isósceles. Logo, [tex3]\angle C_{1}BD \, = \, \angle C_{1}DB[/tex3]. Logo, a soma [tex3]\alpha \, + \, \beta \, + \, \gamma[/tex3] corresponde ao valor de um ângulo interno. Com isso:

[tex3]\alpha \, + \, \beta \, + \, \gamma \, = \, \frac{540}{5} \\ \alpha \, + \, \beta \, + \, \gamma \, = \, 108^{0}[/tex3]

Falso


Ainda estou tentando resolver as outras ...

[emanuel9393MOD]

Eu ainda consegui resolver o (4) e (5):


(4)

No triângulo [tex3]EAD[/tex3], considere o ângulo [tex3]\angle EDA \, = \, n[/tex3], temos que:


[tex3]2n \, + \, 108 \, = \, 180 \\ \boxed{n \, = \, 36^{0}}[/tex3]


Falso

(5)

Da semelhança [tex3]EAC_{1}[/tex3] e [tex3]EAB[/tex3] tiramos:

[tex3]\boxed{ \frac{x}{y} \, = \, \frac{2y \, + \, z}{x}}[/tex3]

Verdadeiro

A afirmação (6) é muito chata de demonstrar. Não consigo resolver essa.

Mas, tentei e ainda continuo tentando...


Um abraço!

[andrezza]

Alguém pode explicar a 5 e 6?