Olimpíadas ⇒ (Latvian) Quadrado perfeito Tópico resolvido

[theblackmamba]

Mostre que [tex3]n(n+1)(n+2)(n+3)+1[/tex3] é um quadrado perfeito para [tex3]\forall\,n\,\in\,\mathbb{N}[/tex3].

[triplebig]

Esse produto é análogo a:

[tex3](n-1)n(n+1)(n+2)+1\\ = (n^2-1)(n^2+2n)+1\\ = n^4 +2n^3-n^2-2n+1[/tex3]

Como é um quadrado perfeito, um jeito fácil de fatorar isso é abrir dois parentesis e ir "preenchendo":

[tex3](n^2+ \_\_ + 1)(n^2+\_\_+1)[/tex3]

Não dá, tem que aparecer [tex3]-n^2[/tex3].Então:

[tex3](n^2+ \_\_ \;- 1)(n^2+\_\_\;-1)[/tex3]

ai é facil perceber que falta o [tex3]n[/tex3].

[cajuADMIN]

Olá triplebig,

Não consegui entender o que você fez. Parece que está faltando algo, não está?

Eu resolvi de uma maneira diferente. Veja só:

Efetuando as multiplicações, chegamos em:

[tex3]n^4+6n^3+11n^2+6n+1[/tex3]

Para tentarmos fatorar esta expressão, devemos encontrar as raízes dela igualada a zero.

[tex3]n^4+6n^3+11n^2+6n+1=0[/tex3]

Esta nada mais é do que uma equação polinomial recíproca.

Vamos dividir ambos os lados por [tex3]n^2[/tex3]

[tex3]n^2+6n+11+\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}=0[/tex3]

[tex3]n^2+\frac{1}{n^2}+6\left(n+\frac{1}{n}\right)+11=0[/tex3]

Fazendo [tex3]\boxed{n+\frac{1}{n}=K}[/tex3] temos que [tex3]\left(n+\frac{1}{n}\right)^2=K^2\,\,\rightarrow \,\,\boxed{n^2+\frac{1}{n^2}=K^2-2}[/tex3]:

[tex3]K^2-2+6K+11=0[/tex3]

[tex3]K^2+6K+9=0[/tex3]

[tex3](K+3)^2=0[/tex3]

Voltando ao valor de [tex3]n[/tex3]:

[tex3]\left(n+\frac 1n+3\right)^2=0[/tex3]

Ou seja, podemos dizer que a expressão inicial é igual a [tex3]\left(n+\frac 1n+3\right)^2[/tex3].

Grande abraço,
Prof. Caju