Ensino Médio ⇒ Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica Infinita Tópico resolvido

[osga2003]

[tex3]a_n\,=\,\left(\frac{1}{2}\right)^n\,-\,\left(\frac{1}{3}\right)^n,[/tex3] para todo [tex3]n[/tex3] igual ou maior que zero. Determine a soma dos infinitos termos desta seqüência.

[brain_tnt]

fala aí osga2003...
cara, acho que tem algum erro nessa questão..
olha só,
[tex3]a_n=\(\frac{1}{2}\)^n-\(\frac{1}{3}\)^n[/tex3] para todo [tex3]n \geq 0[/tex3]

isso me diz que o n pode ser igual a zero, assim sendo vamos ter:

Bom, eu acho que a questão ta querendo a soma dos infinitos valores de [tex3]a,[/tex3] que vai de 0 até [tex3]\infty[/tex3]
Então ficaria assim:
[tex3]a_n=\(\frac{1}{2}\)^n-\(\frac{1}{3}\)^n=\frac{3^n-2^n}{6^n}\\
a_0=\(\frac{1}{2}\)^0-\(\frac{1}{3}\)^0=0\\
a_1=\(\frac{1}{2}\)^1-\(\frac{1}{3}\)^1=\frac{1}{6}\\
a_2=\(\frac{1}{2}\)^2-\(\frac{1}{3}\)^2=\frac{5}{6.6}\\
a_3=\(\frac{1}{2}\)^3-\(\frac{1}{3}\)^3=\frac{19}{6.6.6}\\\cdot \\\cdot \\\cdot \\
a_n=...\\[/tex3]

---

[tex3]a_1+a_2+a_3+a_4+a_n=S_{ni}\\
S_{ni}=\frac{a_1}{1-q}\\
S_{ni}=\frac{\frac{1}{6}}{1-\frac{3^n-2^n}{6^n}}\\[/tex3]
fazendo essa conta achei:
[tex3]S_{ni}=\frac{1}{6(1-2^n-3^n)}[/tex3]

Não tenho certeza quanto ao cálculo...
depois posta aí o gabarito da questão...blz?
Abração!

[cajuADMIN]

Olá osga2003 e brain_tnt,

Você utilizou a fórmula da soma dos infinitos termos de um P.G. em uma sequência que não é uma PG.

Para utilizar a fórmula pretendida, devemos visualizar a sequência dada como sendo uma P.G. subtraindo outra P.G.

Ou seja:

(1) [tex3]a_n=b_n-c_n[/tex3]

Onde: [tex3]b_n=\left(\frac 12\right)^n[/tex3] e

[tex3]c_n=\left(\frac 13\right)^n[/tex3]

Agora sim, [tex3]b_n[/tex3] e [tex3]c_n[/tex3] são P.G.

Soma infinita de [tex3]b_n = \frac{1}{1-\frac 12}=2[/tex3]

Soma infinita de [tex3]c_n=\frac{1}{1-\frac 13}=\frac 32[/tex3]

Agora sim,

Soma infinita de [tex3]a_n=2-\frac 32=\frac 12[/tex3]

[osga2003]

e ai muito obrigado pela ajuda galera a resposta do caju bate com a do gabarito essa prova foi elaborada pela ueg e do concurso de soldado da pm-go se tiverem interesse de baixar e so ir no site www.ueg.br nucleo de seleção concursos e esta la, valeu!!!!!!

[brain_tnt]

interessante, prof Caju...
valeu pelo esclarecimento..
parece que eu viajei um pouquinho... =D
té +