Ensino Médio ⇒ Gráfico de função quadrática

[diogopfp]

Sobre o gráfico da função [tex3]f(x) = ax^2 + bx + c[/tex3], sabese que:
- Intercepta o eixo y no ponto de ordenada 8.
- A abscissa do vértice é igual a 3.
- Uma de suas raízes é igual a 2.
Sendo assim, a soma [tex3]a + b + c[/tex3] é igual a:
a) 3.
b) 7.
c) 12.
d) 9.

[emanuel9393MOD]

Olá, diogofop!

Da primeira informação, tiramos: [tex3]c \, = \, 8[/tex3]

Da segunda informação, tiramos: [tex3]b \, = \, - \, 6a[/tex3]

Da terceira informação, vem:

[tex3]0 \, = \, 4a \, + \, 2b \, + \, 8 \\ 0 \, = \, 4a \, - \, 12a \, + \, 8 \\ \boxed{a \, = \, 1}[/tex3]

Logo:

[tex3]\boxed{b \, = \, -6}[/tex3]


Só basta, agora somar esses valores:


[tex3]a \, + \, b \, + \, c \, \, = \, 1 \, - \, 6 \, + \, 8 \\ = \, \boxed{\boxed{3}}[/tex3]


Resposta = a


Um abraço!

[Swiichi]

Olá diogo!
Vamos analisar as informações que nos foram dadas:

1. Intercepta o eixo y no ponto de ordenada 8.
O fato de ele ter dito "ordenada" é até redundante, pois todo ponto que corta o eixo y é da forma (0,y). De qualquer forma, essa informação nos diz que [tex3]c=8[/tex3], pois caso [tex3]x[/tex3] seja zerado, [tex3]f(x) = c[/tex3].

2. A abscissa do vértice é igual a 3.
O vértice de uma parábola é dado por [tex3]\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)[/tex3]. Dessa forma, temos:
[tex3]-\frac{b}{2a} = 3 \rightarrow -b = 6a \rightarrow \boxed{b = -6a}[/tex3]

3. Uma de suas raízes é igual a 2.

Sabemos que todas as parábolas são simétricas na equação da reta [tex3]x = -\frac{b}{2a}[/tex3], ou seja, no seu vértice. Se o vértice é 3 e uma das raízes é 2, temos que a distância do vértice até as raízes é 1 no eixo das abscissas. Logo, a outra raiz é 4 (caso não compreenda, esboce o gráfico).
Assim, podemos reescrever a função [tex3]f(x)[/tex3] como:
[tex3]f(x) = ax^2 -6ax +8 \rightarrow f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\
f(x) = a(x-2)(x-4)\\
f(x) = a(x^2 -6x +8)\\
f(x) = ax^2 -6ax +8a[/tex3]
Igualando os dois polinômios:
[tex3]ax^2 -6ax +8 = ax^2 -6ax +8a[/tex3]
Os termos sem x igualados nos mostram que [tex3]a=1[/tex3], logo, [tex3]b=-6[/tex3].
[tex3]a+b+c = 1-6+8 = 3[/tex3]

Espero ter ajudado! Abraço!

[emanuel9393MOD]

Legal!

Duas formas de resolver!



Estás de parabéns swiichi!