Ensino Médio ⇒ Números Complexos: Forma Trigonométrica

[PiRaNGuErOoO]

Os complexos [tex3]z[/tex3] e [tex3]w[/tex3] têm como imagens os pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B,[/tex3] respectivamente. Se [tex3]z=2w+ 5wi[/tex3] e [tex3]w \neq 0,[/tex3] determine [tex3]\cos A\widehat{O}B.[/tex3]

[gsgarbi]

Seja [tex3]A\widehat{O}B=\theta .[/tex3]

• [tex3]\begin{cases}z=|z|\cdot \text{cis} \alpha\\w=|w|\cdot \text{cis} \beta \end{cases}[/tex3]

• [tex3]\theta=\alpha-\beta[/tex3]

• [tex3]z=2w+5wi[/tex3]
  
  [tex3]|z|\cdot\text{cis} \alpha=(2+5i)\cdot |w|\cdot\text{cis} \beta[/tex3]
  
  [tex3]\frac{\text{cis} \alpha}{\text{cis}\beta}=\frac{|w|}{|z|}\cdot (2+5i)[/tex3]

Como [tex3]\frac{\text{cis} \alpha}{\text{cis}\beta}= \text{cis} (\alpha - \beta)= \text{cis} \theta,[/tex3] temos

• [tex3]\text{cis} \theta=k\cdot (2+5i),[/tex3] com [tex3]k \in\mathbb{R}.[/tex3]
  
  [tex3]\cos\theta + i\cdot \text{sen}\theta=2k+5k\cdot i\Longrightarrow \begin{cases}\cos\theta=2k\\ \text{sen}\theta=5k \end{cases}[/tex3]
  
  [tex3]\text{sen}^2\theta +\cos^2\theta=1 \Longrightarrow 4k^2+25k^2=1 \Longrightarrow k= \frac{\sqrt{29}}{29}[/tex3]
  
  [tex3]cos\theta=2k= \frac{2\sqrt{29}}{29}[/tex3]