Pré-Vestibular ⇒ (FGV - 2008) Geometria - Lei dos Senos e Cossenos

[soaresv]

Na figura a seguir, [tex3]\overline{AB}[/tex3] é o diâmetro da circunferência de centro [tex3]O[/tex3], [tex3]M[/tex3] é o ponto médio do raio [tex3]\overline{OB}[/tex3] e [tex3]B[/tex3] é o centro da circunferência menor, que passa por [tex3]M[/tex3] e cujo o raio é [tex3]r[/tex3].

Circul.jpg (18.33 KiB) Exibido 3301 vezes

Sendo [tex3]P[/tex3] o ponto de intersecção das circunferências determine:

a) a medida de [tex3]\overline{AP}[/tex3] em função de [tex3]r[/tex3];

b) o cosseno do ângulo [tex3]P\hat{O}B[/tex3];


Obrigado pela atenção de todos,
Victor Soares

[soaresv]

@ALDRIN concordo e peço desculpas sobre a regra 5, mas discordo completamente por ter apagado o restante da imagem, afinal de contas, é a resolução do exercício e creio que o intuito desse forum seja ajudar os estudantes que tenham dúvidas sobre determinados exercícios, então, penso que a resolução ajudaria e que não havia necessidade alguma dessa medida aplicada por você.

[ALDRINMOD]

13ª Regra - Não é admitida a inserção de figuras com tabelas, fórmulas ou qualquer conteúdo que possa ser expresso através do teclado ou do recurso disponível para esses fins no fórum. Para fórmulas, utilize preferencialmente o editor TeX.

soaresv a regra é clara, se você tiver alguma dúvida como digitar o que tinha na imagem é só me perguntar que eu lhe informo como digitar.

[ALDRINMOD]

Trian.jpg (20.5 KiB) Exibido 3288 vezes

De acordo com a figura, temos:

a)

[tex3][AB]^2=[AP]^2+[PB]^2[/tex3]
[tex3][AP]^2=[AB]^2-[PB]^2[/tex3]
[tex3][x]^2=[4r]^2-[r]^2[/tex3]
[tex3]x^2=16r^2-r^2[/tex3]
[tex3]x^2=15r^2[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{{x=r\sqrt{15}}}}[/tex3]

b) Usando Lei dos Cossenos:

[tex3][PB]^2=[OP]^2+[OB]^2-2\cdot OP\cdot OB\cdot \cos P\hat{O}B[/tex3]
[tex3][PB]^2=[OP]^2+[OB]^2-2\cdot OP\cdot OB\cdot \cos \alpha[/tex3]
[tex3]r^2=[2r]^2+[2r]^2-2\cdot 2r\cdot 2r\cdot \cos \alpha[/tex3]
[tex3]r^2=4r^2+4r^2-8r^2\cdot \cos \alpha[/tex3]
[tex3]r^2=8r^2-8r^2\cdot \cos \alpha[/tex3]
[tex3]r^2=r^2(8-8\cos \alpha)[/tex3]
[tex3]1=1(8-8\cos \alpha)[/tex3]
[tex3]8\cos \alpha=8-1[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\cos \alpha=\frac{7}{8}}}[/tex3]

Qualquer dúvida é só perguntar!!!

[soaresv]

Muito obrigado pela ajuda aldrin. A principal dúvida que tenho é sobre como se sabe que o angulo [tex3]P[/tex3] de [tex3]\Delta OPB[/tex3] é um ângulo reto, e como se sabe que [tex3]OP = OB = 2r[/tex3]?

[ALDRINMOD]

Primeira pergunta:

[tex3]90^\circ[/tex3] é o ângulo [tex3]A\hat{P}B[/tex3] e não o ângulo [tex3]O\hat{P}B[/tex3].

Ângulo [tex3]A\hat{P}B[/tex3] oposto ao arco [tex3]\hat{AB}=180^\circ[/tex3],

Logo,

[tex3]\hat{P}=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ[/tex3]

Quanto a segunda pergunta:

[tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]\overline{OB}[/tex3], como diz o enunciado.

Então,

[tex3]\overline{OB}=\overline{OP}=\overline{OA}=2r=R[/tex3]

Se permanecer a dúvida pode perguntar!!!

[soaresv]

Aldrin, MUITO OBRIGADO! mais uma vez, você foi brilhante na sua função de colaborar com a construção de conhecimentos e auxilio aos outros aqui no fórum.