Pré-Vestibular ⇒ (FEI-2000) Função Quadrática Tópico resolvido

[gabrielifce]

A função [tex3]f(x)= x^2 +bx +c[/tex3], definida para qualquer valor real de [tex3]x[/tex3], é nula para [tex3]x=r[/tex3] ou [tex3]x=3r[/tex3]. Determine [tex3]r[/tex3] sabendo-se que o valor minimo de f(x) é -9.

a) r=0 ou r=-1 ou r=1
b)r=3 ou r=-3
c)r=2
d)r=4 ou r=-4
e)r=9 ou r=-9

Resposta

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RESP ITEM B

[VALDECIRTOZZI]

Veja, se a função é nula para [tex3]x=r \ ou \ x=3r[/tex3], então [tex3]r \ 3r[/tex3] são as raizs da função. Substituindo-os na função temos:
[tex3]0=r^2+br+c[/tex3] [tex3](I)[/tex3]
[tex3]0=(3r)^2+b \cdot 3r+c \Longleftrightarrow 0=9r^2+3br+c[/tex3] [tex3](II)[/tex3]

Multiplicando [tex3](I)[/tex3] por [tex3](-1)[/tex3] e somando com [tex3](II)[/tex3], obtemos:
[tex3]8r^2+2br=0[/tex3] [tex3](III)[/tex3]

Por outro lado, a abscissa do vértice [tex3](x_v)[/tex3] pode ser obtida por [tex3]x_v=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{r+3r}{2}=2r[/tex3], lembrando que o eixo de simetria da parábola passa pela sua abscissa do vértice.

Então a ordenada do vértice (que é, nesse caso, o ponto de mínimo da parábola) [tex3](y_v)[/tex3] pode ser obtida: [tex3]y_v=(x_v)^2+b \cdot x_v+c \Longrightarrow -9=(2r)^2+b \cdot 2r+c \Longleftrightarrow 4r^2+2br+c=-9[/tex3] [tex3](IV)[/tex3].

Multiplicando [tex3](I)[/tex3] por [tex3](-1)[/tex3] e somando com [tex3](IV)[/tex3], obtemos:[tex3]3r^2+br=-9[/tex3] [tex3](V)[/tex3].

Montando o sistema de equações com [tex3](III) \ e \ (V)[/tex3]:
[tex3]\begin{cases}8r^2 +2br=0 \\ 3r^2+br=-9\end{cases}[/tex3]

Multiplicando a segunda equação por [tex3](-2)[/tex3]: [tex3]\begin{cases} 8r^2+2br=0 \\ -6r^2-2br=18\end{cases}[/tex3]

Somando as duas eqauções membro a membro: [tex3]2r^2=18\Longleftrightarrow r^2=9 \Longleftrightarrow r=+3 \ ou \ r-3[/tex3]

Espero ter ajudado.