Olimpíadas ⇒ (OBM 2ª fase - 2008) Pares Ordenados Tópico resolvido

[Cássio]

Encontre todos os pares ordenados [tex3](x;\,y)[/tex3] de inteiros tais que [tex3]x^3-y^3=3\(x^2-y^2\)[/tex3].

[SirTcgm]

[tex3]x^3-y^3=3(x^2-y^2)\Rightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)=3(x+y)(x-y)[/tex3]

Quando [tex3](x-y) = 0\Rightarrow x = y[/tex3] e [tex3] x^3-y^3=3(x^2-y^2)\Right (x-y)(x^2+xy+y^2) = 0[/tex3]
Logo, [tex3]x = y[/tex3] é uma solução.

Quando [tex3](x-y) \neq 0[/tex3], podemos dividir ambos os lados da equação acima por [tex3](x-y)[/tex3], ficando com:
[tex3]x^2+xy+y^2=3x+3y\Right x^2+(y-3)x -3y+y^2=0[/tex3]

Resolvendo em x, temos: [tex3]x=\frac{3-y\pm \sqrt{-3y^2+6y+9}}{2}[/tex3]
Pra [tex3]x[/tex3] ser natural, o discriminante da equação deve ser maior ou igual a 0, ou seja, [tex3]-3y^2+6y+9\geq 0[/tex3]
Resolvendo, achamos [tex3]-1\leq y\leq 3[/tex3]

Substituindo os valores de [tex3]y[/tex3] por -1, 0, 1, 2 e 3 achamos os pares de x e y que satisfazem a equação.

Logo [tex3]S=\left\{(x,\,x);(-1,\,2);(0,\,3);(2,\,1);(3,\,0) \right\}[/tex3]

TM

[SirTcgm]

Não estou conseguindo editar a mensagem acima, então considerem determinante como discriminante rs.

TM