Ensino Superior ⇒ Grupos Tópico resolvido

[Natan]

Seja G um grupo contendo exatamente [tex3]2n[/tex3] elementos com [tex3]n\, \in\, \mathbb{N}.[/tex3] Mostre que existe em G um elemento de ordem 2.

[kluis37]

Escreva [tex3]G = \{e\} \cup \{g \in G : g^2 \neq e\} \cup \{g \in G : g^2 = e, g \neq e\}[/tex3];

Chame :
[tex3]A =\{g \in G : g^2 \neq e\}[/tex3].
[tex3]B =\{g \in G : g^2 = e\}[/tex3].

Caso [tex3]A = \emptyset[/tex3] é trivial.

Mostremos que A possui ordem par.

Seja [tex3]x \in A[/tex3] então [tex3]x \neq x^{-1}[/tex3] , além disso [tex3]x^{-1} \in A[/tex3], pois caso contrário [tex3]x^{-1} \in B[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]x^{-1} . x^{-1} = e[/tex3] [tex3]\rightarrow x = x^{-1}[/tex3], que é um absurdo!.

Assim, a cardinalidade de A é par. Logo [tex3]\exists b \in B[/tex3] tal que o(b) = 2.

[kluis37]

Há uma outra maneira de resolver também, usando argumento combinatório ...