Pré-Vestibular ⇒ (UFMG) Números Complexos Tópico resolvido

[theblackmamba]

Tome um número complexo [tex3]z_1[/tex3] como módulo [tex3]1[/tex3] e a partir dele construa uma sequência ordenada de números complexos [tex3]z_1,z_2,z_3,...[/tex3] na qual [tex3]z_{k+1}[/tex3] é obtido girando [tex3]z_k \,\,\,105^{\circ}[/tex3] no sentido anti-horário, para todo [tex3]k \geq 1[/tex3]. O menor valor de [tex3]n>1[/tex3] tal que a representação geométrica de [tex3]z_n[/tex3] coincida com a de [tex3]z_1[/tex3] é igual a:

A) [tex3]26[/tex3]
B) [tex3]24[/tex3]
C) [tex3]23[/tex3]
D) [tex3]25[/tex3]

Resposta

---

B

[jacobi]

[tex3]\frac{105.x}{360} = \frac{7.x}{24}[/tex3]

Logo, [tex3]x = 24[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá Jacobi,

Vou pedir que ao postar uma solução você descreva o que foi feito, veja que da forma que foi exposta a solução nem todos irão entender.

Grando abraço.

[FelipeMartinMOD]

[tex3]z_{k+1} = z_k \cis (105^{\circ}) \implies z_n = z_1 \cis ((n-1)105^{\circ})[/tex3]

queremos que [tex3]z_n = z_1[/tex3], logo,

[tex3]1 = \cis (105^{\circ} (n-1)) = \cis (360^{\circ} k)[/tex3]

queremos que

[tex3]105 (n-1) = 360k[/tex3] para [tex3]n[/tex3] e [tex3]k[/tex3] inteiros.

[tex3]21(n-1) = 72k \implies 7(n-1) = 24k \implies k=7, n-1 = 24 \implies n=25[/tex3]

Se o enunciado foi digitado da maneira correta (e pode-se argumentar que o primeiro [tex3]z_1[/tex3] na verdade deveria ser [tex3]z_0[/tex3], dando ai [tex3]n=24[/tex3]), a resposta é a letra D, [tex3]25[/tex3]