Ensino Médio ⇒ Sistema com 7 incógnitas Tópico resolvido

[Cássio]

Suponha que [tex3]x_1,x_2.x_3,...,x_7[/tex3] satisfaçam o sistema:

[tex3]\begin{cases} x_1+4x_2+9x_3+16x_4+25x_5+36x_6+49x_7=1\\ 4x_1+9x_2+16x_3+25x_4+36x_5+49x_6+64x_7=12\\
9x_1+16x_2+25x_3+36x_4+49x_5+64x_6+81x_7=123\end{cases}[/tex3]

Determine o valor de

[tex3]16x_1+25x_2+36x_3+49x_4+64x_5+81x_6+100x_7.[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá Cássio,

A equação que queremos saber o valor será uma combinação das outras.

Sendo assim, vamos dizer quer [tex3]A,B\,e\,C[/tex3] são os valores que devemos multiplicar a [tex3]1^{\circ},2^{\circ}\,e\,3^{\circ}[/tex3] equação respectivamente.

Por exemplo:
[tex3]1Ax_1+4Bx_1+9Cx_1\equiv 16x_1[/tex3]

Veja também que os [tex3]1,4,9,16[/tex3] são quadrados perfeito, da mesmo forma que todos os outros também são.

Podemos reescrever,
[tex3]1^2A+2^2B+3^2C\equiv 4^2[/tex3]

Ou ainda,
[tex3]n^2A+(n+1)^2B+(n+2)^2C\equiv (n+3)^2[/tex3]

Desenvolvendo temos,
[tex3](A+B+C)n^2+(2B+4C)n+B+4C\equiv n^2+6n+9[/tex3]

Logo,
[tex3]\begin{cases}A+B+C=1\\2B+4C=6\\B+4C=9\end{cases}\Longrightarrow (A,B,C)=(1,-3,3)[/tex3]

Portanto o valor desejado vale:
[tex3]S=1\cdot 1-3\cdot 12+3\cdot 123[/tex3]
[tex3]\boxed{S=334}[/tex3]


Abraço;