Pré-Vestibular ⇒ (UESB - 2006) Circunferência Tópico resolvido

[JohanNSS]

O valor da constante [tex3]m[/tex3], para que a reta [tex3]y =-2x + m[/tex3] seja tangente à circunferência de equação [tex3]x^2 + y^2-2x-4y = 0[/tex3], está entre:

01) –6 e –2.
02) –2 e 2.
03) 2 e 6.
04) 6 e 10.
05) 10 e 14.

[JohanNSS]

Tentei fazer só que não consegui, mais achei o gabarito é o número 04, se alguem puder ajudar com a resolução ficarei grato

[FilipeCaceres]

Olá JohanNSS,

Primeiro vamos calcular o centro a circunferência.
[tex3]x_c=-\frac{-2}{2}=1[/tex3]
[tex3]y_c=-\frac{-4}{2}=2[/tex3]

E o raio vale,
[tex3]R^2=x_c^2+y^2=1+4[/tex3]
[tex3]R=\sqrt{5}[/tex3]

Então a distância do centro a reta [tex3]r:2x+y-m=0[/tex3] vale [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
[tex3]d_{C,r}=\frac{|2\cdot 1+2-m|}{\sqrt{1^2+2^2}}[/tex3]
[tex3]\sqrt{5}=\frac{|4-m|}{\sqrt{5}}[/tex3]
[tex3]5=|4-m|[/tex3]

Para [tex3]m\geq 0[/tex3]
[tex3]5=4-m[/tex3]
[tex3]\boxed{m=-1}[/tex3]

Para [tex3]m< 0[/tex3]
[tex3]5=-(4-m)[/tex3]
[tex3]\boxed{m=9}[/tex3]

Desta forma ficamos com as opções 02 e 04.

Abraço.