Olimpíadas ⇒ (Ibero) Equações Tópico resolvido

[theblackmamba]

Ache as raízes [tex3]r_1,\,r_2,\,r_3,\,r_4[/tex3] da equação [tex3]4x^4-ax^3+bx^2-cx+5 = 0[/tex3], sabendo que são raízes positivas e satisfazem:
[tex3]\frac{r_1}{2} + \frac{r_2}{4} + \frac{r_3}{5} + \frac{r_4}{8} = 1[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

Por Girard tiramos que
[tex3]r_1\cdot r_2\cdot r_3\cdot r_4=\frac{4}{5}[/tex3]

Como as raízes são reais positivas, usando desigualdade das médias [tex3](MA\geq MG)[/tex3]
[tex3]\frac{\frac{r_1}{2} + \frac{r_2}{4} + \frac{r_3}{5} + \frac{r_4}{8}}{4}\geq \sqrt[4]{\frac{r_1}{2} \cdot \frac{r_2}{4} \cdot \frac{r_3}{5}\cdot \frac{r_4}{8}}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{4}\geq \sqrt[4]{\frac{r_1\cdot r_2\cdot r_3\cdot r_4}{320}}=\sqrt[4]{\frac{5}{1280}}=\frac{1}{4}[/tex3]

Como sabemos a igualdade só ocorre quando [tex3]\frac{r_1}{2} = \frac{r_2}{4} = \frac{r_3}{5}= \frac{r_4}{8}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{(r_1,r_2,r_3,r_4)=(\frac{1}{2},1,\frac{5}{4},2)}[/tex3]

Para quem não sabe.
[tex3]MA:[/tex3] Média Aritmética
[tex3]MG:[/tex3] Média Geométrica

Abraço.