IME / ITA ⇒ (IME - 2008) Geometria Espacial: Octaedro Tópico resolvido

[Alexandre_SC]

Um plano corta um cubo com aresta de comprimento 1 passando pelo ponto médio de três arestas concorrentes no vértice A e formando uma pirâmide, conforme a figura a seguir. Este processo é repetido para todos os vértices. As pirâmides obtidas são agrupadas formando um octaedro cuja área da superfície externa é igual a:

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A)[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

B)[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

C) 1

D) 2

E)[tex3]2\sqrt{2}[/tex3]

[Alexandre_SC]

A princípio é um octaedro qualquer, precisamos determinar como ele é montado

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note que os pontos que originalmente eram os vértices do cubo ficaram reunidos no centro do novo sólido

as faces são formadas pelos cortes

são triângulos equiláteros de lado [tex3]\frac{ \sqrt{2}}{2}[/tex3]

como a área de UM triângulo equilatero de lado L é [tex3]L^2 \frac{\sqrt{ 3}}{4}[/tex3] temos que cada face tem area

[tex3]\frac{1}{2}\frac{\sqrt 3}{4}= \frac{\sqrt 3}{8}[/tex3]

mas a superfície do sólido é formada por oito desses triângulos então sua área é de [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

OPÇÃO B