Pré-Vestibular ⇒ (UFC-2004) Função Quadrática Tópico resolvido

[gabrielifce]

As raízes da equação [tex3]x^2-px+q=0[/tex3], onde [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] são constantes, são os cubos das raízes das equações [tex3]x^2 +x +1=0[/tex3]. Determine os valores [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3].

Resposta

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Resp: p=2 e q=1

[Cássio]

As raízes da equação x²-px+q=0, onde p e q são constantes, são os cubos das raízes das equações x² +x +1=0. Determine os valores p e q

Resp: p=2 e q=1

Vamos encontrar as soluções de [tex3]x^2+x+1=0:[/tex3]

[tex3]\Delta=1^2-4=-3[/tex3]

[tex3]x_1=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]x_2=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Agora calculemos [tex3]x_1^3[/tex3] e [tex3]x_2^3:[/tex3]

[tex3]x_1^3=\left(\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^3=\dfrac{(-1)^3+3(-1)^2(i\sqrt{3})+3(-1)(i\sqrt{3})^2+i^3(\sqrt{3})^3}{8}[/tex3]

[tex3]=\dfrac{-1+3i\sqrt{3}+9-3i\sqrt{3}}{8}=1[/tex3]

-------------------------------------
[tex3]x_2^3=\left(\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)^3=\dfrac{(-1)^3-3(-1)^2(i\sqrt{3})+3(-1)(i\sqrt{3})^2-i^3(\sqrt{3})^3}{8}[/tex3]

[tex3]=\dfrac{-1-3i\sqrt{3}+9+3i\sqrt{3}}{8}=1[/tex3]


Portanto:

[tex3]x^2-px+q=(x-1)(x-1)=x^2-2x+1[/tex3]

Donde, [tex3]p=2[/tex3] e [tex3]q=1.[/tex3]