Ensino Fundamental ⇒ Soma e Produto de uma equação do 2º grau Tópico resolvido

[ivan]

O valor da soma dos inversos dos quadrados das raízes da equação [tex3]x^{2} - 2x + 3 = 0[/tex3].

Resposta

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R:[tex3]\frac{-2}{9}[/tex3]

[lecko]

A soma dos quadrados dos inversos das raízes é dado por [tex3]S=\frac{b^2-2ac}{c^2}[/tex3]

Aplicando a Fórmula:
[tex3]S=\frac{(-2)^2-2.1.3}{3^2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{4-6}{9}[/tex3]
[tex3]S=\frac{-2}{9}[/tex3]

[theblackmamba]

Só mostrando como nosso amigo lecko chegou a essa conclusão:

Sejam as raízes [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3].

[tex3]S=\frac{1}{x_1 ^2}+\frac{1}{x_2 ^2}[/tex3]
[tex3]S = \frac{x_1 ^2 + x_2 ^2}{(x_1 \cdot x_2)^2}[/tex3]

Lembrando que [tex3](x_1+x_2)^2 = x_1 ^2 + x_2 ^2+2x_1 \cdot x_2\Longrightarrow x_1 ^2+x_2 ^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1 \cdot
x_2[/tex3]

[tex3]S = \frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2}{(x_1 \cdot x_2)}[/tex3]

Onde [tex3]x_1+x_2 = -\frac{b}{a}[/tex3] e [tex3]x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}[/tex3]

[tex3]S=\frac{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\cdot \frac{c}{a}}{\left(\frac{c}{a}\)^2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{\frac{b^2-2ac}{a^2}}{\frac{c^2}{a^2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{S=\frac{b^2-2ac}{c^2}}[/tex3]

Grande abraço.!