Olimpíadas ⇒ (OBM-2006)Teoria dos números Tópico resolvido

[thiagobersch]

Mostre que se [tex3]19|3x+7y[/tex3] então [tex3]19|43x+75y[/tex3].

[Cássio]

Mostre que se [tex3]19|3x+7y[/tex3] então [tex3]19|43x+75y[/tex3].

Olá thiagobersch!

[tex3]\begin{cases}19\ | \ 3x+7y\\ 19 \ | \ 19(x+y) , \ \forall \ x,y\in\mathbb{Z}\end{cases} \\ \\ \Longleftrightarrow 19 \ | \ 19(x+y)-(3x+7y)=4(4x+3y)\\ \Longleftrightarrow 19 \ | \ 4(4x+3y), \ \text{como}\ mdc(9,4)=1\Longrightarrow 19 \ | \ 4x+3y\\ \Longleftrightarrow 19\ | \ (4x+3y)[/tex3]

Agora, como [tex3]19 \ |\ 3x+7y \ \ \ \Longrightarrow \ 19\ |\ 4(3x+7y)=12x+28y[/tex3]

De modo que [tex3]\begin{cases} 19\ |\ 4x+3y \\ 19\ |\ 12x+28y\end{cases} \Longrightarrow 19\ |\ (12x+28y)-(4x+3y)=8x+25y[/tex3]

logo, [tex3]19\mid 3(8x+25y) + 19x = 24x+75y+19x = 43x+75y.\hspace{7cm} \Box[/tex3]

[thiagobersch]

Um dúvida que surgiu agora quando mencionou mdc(9,4) = 1, da onde esse nove surgiu ?
E na ultima linha como surgiu 3(8x+25y)+19y ? E a ultima duvida porque usar o 19 novamente ?
Obrigado pela atenção e a ajuda.

[Cássio]

Um dúvida que surgiu agora quando mencionou mdc(9,4) = 1, da onde esse nove surgiu ?

Me desculpe, eu cometi um erro de digitação. O correto é [tex3]mdc(19,4)=1.[/tex3] Eu usei esse fato para pode concluir que [tex3]19\mid 4x+3y.[/tex3] Essa é uma propriedade muito útil quando se trabalha com divisibilidade:

Se [tex3]d\mid (a\cdot b)[/tex3] e [tex3]mdc(d,a)=1,[/tex3] então [tex3]d\mid b.[/tex3]

E na ultima linha como surgiu 3(8x+25y)+19y ?

Se você entendeu como eu cheguei até [tex3]19\mid 8x+25y,[/tex3] então basta ver que se [tex3]d\mid a,[/tex3]
então [tex3]d\mid a\cdot k,\ \forall k\in\mathbb{Z}[/tex3]

É só juntar o que temos:

Através de manipulações vimos que [tex3]19\mid 8x+25y.[/tex3] Então podemos multiplicar [tex3]8x+25y[/tex3] por qualquer inteiro, de modo que [tex3]19[/tex3] continua dividindo o novo produto. Exemplo: [tex3]5\mid 15,[/tex3] então [tex3]5[/tex3] divide qualquer múltiplo de [tex3]15.[/tex3] (Em geral, os polinômios de coeficientes INTEIROS se comportam de maneira bem semelhante aos inteiros. Várias das propriedades de divisibilidade nos inteiros podem ser usadas em polinômios de coeficientes INTEIROS)
Como [tex3]19\mid 8x+25y,[/tex3] se multiplicarmos por [tex3]3,[/tex3] o produto também é divisível por 19. Logo, [tex3]19\mid 3(8x+25y).[/tex3]

Agora, obviamente [tex3]19\mid 19.[/tex3] Então podemos multiplicar 19 por qualquer inteiro e o produto também será divisível. Como pelo enunciado [tex3]x[/tex3] é inteiro, posso dizer que [tex3]19\mid 19x.[/tex3]

Depois daí eu usei outra propriedade conhecida:

Se [tex3]d\mid a[/tex3] e [tex3]d\mid b,[/tex3] então [tex3]d\mid a+b.[/tex3]

Como vimos que [tex3]19\mid 3(8x+25y)[/tex3] e [tex3]19\mid 19x,[/tex3] posso dizer que

[tex3]19\mid 3(8x+25y)+19x.[/tex3]

E aonde foi que eu usei o 19 novamente ?

Ficou mais claro ?

Até!

[thiagobersch]

Obrigado Cássio ficou tudo mais claro