Pré-Vestibular ⇒ (UFC-2004) Função Modular Tópico resolvido

[gabrielifce]

A soma dos inteiros que satisfazem a desigualdade [tex3]| x-7 | > | x+2 | + | x-2 |[/tex3] é:

A) 12
B) 0
C) -2
D) -15
E) -18

Resposta

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resp item e

[jose carlos de almeida]

Esse tipo de questão requer um pouco de habilidade no caso das desigualdades.
Vejamos:
Primeiro caso:
[tex3]x<-2[/tex3]
[tex3]|x-7|>|x+2|+|x-2|[/tex3]
[tex3]-x+7>-x-2-x+2\longrightarrow7>-x\therefore-7<x[/tex3],logo
[tex3]-7<x<-2[/tex3],de modo que as soluções inteiras são [tex3]-6,-5,-4,-3[/tex3]

Segundo caso:
[tex3]-2\leq{x}<2[/tex3]
[tex3]|x-7|>|x+2|+|x-2|[/tex3]
[tex3]-x+7>x+2-x+2\longrightarrow3>x[/tex3],as soluções inteiras são: [tex3]-2,-1,0,1[/tex3]

Terceiro caso:
[tex3]2\leq{x}<7[/tex3]
[tex3]|x-7|>|x+2|+|x-2|[/tex3]
[tex3]-x+7>x+2+x-2\longrightarrow7>3x\therefore{x}<\frac{7}{3}[/tex3],cuja solução inteira é 2.

Quarto caso:
[tex3]7\leq{x}[/tex3]
[tex3]|x-7|>|x+2|+|x-2|[/tex3]
[tex3]x-7>x+2+x-2\longrightarrow -7>x[/tex3],neste caso não há solução.
Portanto a soma das soluções inteiras é:
[tex3]-6-5-4-3-2-1+0+1+2=-18[/tex3]

Abraços.

[Liliana]

Como você definiu o primeiro caso, segundo, terceiro...?
Por exemplo, como eu saberia que tem que usar x < -2, e depois -2 maior ou igual a x < 2, etc??

[cajuADMIN]

Como você definiu o primeiro caso, segundo, terceiro...?
Por exemplo, como eu saberia que tem que usar x < -2, e depois -2 maior ou igual a x < 2, etc??

Pra definir quais casos utilizar, tem que ver os módulos envolvidos na expressão.

Nesse caso, temos a inequação [tex3]| x-7 | > | x+2 | + | x-2 |[/tex3]. Portanto, tem que pegar cada módulo e ver a raiz da expressão interna:

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1º módulo: [tex3]|x-7|[/tex3]

A raiz da expressão interna é

[tex3]x-7=0[/tex3]

[tex3]x=7[/tex3]

Portanto, temos que dividir em casos [tex3]x<7[/tex3] e [tex3]x\ge 7[/tex3].

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2º módulo: [tex3]|x+2|[/tex3]

A raiz da expressão interna é

[tex3]x+2=0[/tex3]

[tex3]x=-2[/tex3]

Portanto, temos que dividir em casos [tex3]x<-2[/tex3] e [tex3]x\ge -2[/tex3].

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3º módulo: [tex3]|x-2|[/tex3]

A raiz da expressão interna é

[tex3]x-2=0[/tex3]

[tex3]x=2[/tex3]

Portanto, temos que dividir em casos [tex3]x<2[/tex3] e [tex3]x\ge 2[/tex3].

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Agora, como existem interseções entre os casos previstos acima, fica mais fácil pegar cada interseção e separar em menos casos, como o colega @jose carlos de almeida fez, usando apenas 4 casos em vez dos 6 casos que indiquei acima.

Grande abraço,
Prof. Caju