Pré-Vestibular ⇒ (UFG-2001) Função Quadrática Tópico resolvido

[gabrielifce]

Considere a equação [tex3]x+\sqrt{x^{2} +x +m}=m[/tex3], onde m é um número real.

a)Para m=-1, determine a raíz real da equação.
b)Determine os conjuntos de valores de m, para os quais a equação possui uma raíz real

Resposta

---

Resp item a)-2
b)m=-1/2

[VALDECIRTOZZI]

a) [tex3]x+\sqrt{x^2+x+m}=m[/tex3]

para [tex3]m=-1[/tex3], temos:
[tex3]x+\sqrt{x^2+x+(-1)}=-1[/tex3]
[tex3]\sqrt{x^2+x-1}=-1-x[/tex3]

elevando ambos membros ao quadrado:
[tex3]x^2+x-1=\left(-1-x\right)^2[/tex3]
[tex3]x^2+x-1=(-1)^2-2(-1)x+x^2[/tex3]
[tex3]\cancel{x^2}+x-1=1+2x+\cancel{x^2}[/tex3]
[tex3]x=-2[/tex3]

Fazendo a verificação da raiz vemos que [tex3]-2[/tex3] satisfaz à equação.

O item B não consegui fazer.

[theblackmamba]

b)
[tex3](m-x)^2=(\sqrt{x^2+x+m})^2[/tex3]
[tex3]m^2-2mx+x^2=x^2+x+m[/tex3]
[tex3]x+2mx+m-m^2=0[/tex3]
[tex3]x(2m+1)+m-m^2=0[/tex3]

Para raízes reais iguais, [tex3]\Delta = 0[/tex3]
[tex3]\Delta = (2m+1)^2-4\cdot 0 \cdot (m-m^2)[/tex3]
[tex3](2x+1)^2 = 0[/tex3]
[tex3]\boxed{m=-\frac{1}{2}}[/tex3]