Pré-Vestibular ⇒ (UFMG-2003) Função Quadrática Tópico resolvido

[gabrielifce]

Sejam [tex3]f(x)=x^2+3x+4[/tex3] e [tex3]g(x)=ax+b[/tex3] duas funções. Determine as constantes a e b, sendo que [tex3]f(g(x))= g(f(x))[/tex3], para todo x real

Resposta

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Resp a=1 e b=0

[Diegooo]

Pela condição dada:

[tex3]F(g(x))=g(f(x))[/tex3] para todo x real.

[tex3]f(ax+b)=g(x^2+3x+4)[/tex3]

Para [tex3]f(ax+b)[/tex3] temos

[tex3]x=ax+b[/tex3] substituindo [tex3]x[/tex3] em [tex3]f(x)[/tex3], teremos:

[tex3](ax+b)^2+3(ax+b)+4[/tex3]

Para [tex3]g(x^2+3x+4)[/tex3] temos

[tex3]x=x^2+3x+4[/tex3] substituindo [tex3]x[/tex3] em [tex3]g(x)[/tex3], teremos:

[tex3]a(x^2+3x+4)+b[/tex3]

Da igualdade tiramos:

[tex3](ax+b)^2+3(ax+b)+4 =[/tex3] [tex3]a(x^2+3x+4)+b[/tex3]
[tex3]a^2x^2+2abx+b^2+3ax+3b+4=ax^2+3ax+4a+b[/tex3]

Repare temos uma igualdade Polinomial

[tex3]a^2=a[/tex3]
[tex3]2ab+3a=3a[/tex3] logo [tex3]2ab=0[/tex3]
[tex3]b^2+3b+4=4a+b[/tex3]

Resolvendo a primeira equação encontramos [tex3]a=1[/tex3] ou [tex3]a=0[/tex3]

Perceba que para [tex3]a=0[/tex3], a terceira equação não possui solução real portanto não convém.

Já para [tex3]a=1[/tex3], temos:

[tex3]2b=0[/tex3] e [tex3]b^2+2b=0[/tex3] que nos dá [tex3]b=0[/tex3]

Resposta: As constantes são [tex3]a=1[/tex3] e [tex3]b=0[/tex3]

Espero ter ajudado!