Ensino Médio ⇒ Equação irracional - Aref

[gabriel93]

Resolva a inequação:

[tex3]\sqrt{x - \dfrac{1}{x}} \ - \ \sqrt{1 - \dfrac{1}{x}} \ > \ \dfrac{x-1}{x}[/tex3]

Se alguém puder me ajudar serei grato!

[miguel747]

Vamos lá


[tex3]\sqrt{x - \dfrac{1}{x}} \ - \ \sqrt{1 - \dfrac{1}{x}} \ > \ \dfrac{x-1}{x}[/tex3]
[tex3]\sqrt{\frac{x^2-1}{x}} - \sqrt{\frac{x-1}{x}} > \ \dfrac{x-1}{x}[/tex3]

Elevando ao quadrado ambos os termos da desigualdade temos:

[tex3]\frac{x^2-1}{x} - 2\sqrt{\frac{(x^2-1)}{x}.\frac{x-1}{x}} + \frac{x-1}{x} > \ \dfrac{x-1}{x}[/tex3]
[tex3]\frac{(x+1)(x-1)}{x} - 2\sqrt{\frac{(x+1)(x-1)^2}{x^2}}+\frac{x-1}{x} > \ \dfrac{x-1}{x}[/tex3]
[tex3]\frac{(x+1)(x-1)}{x}- 2\frac{x-1}{x}\sqrt{x+1}+\frac{x-1}{x} > \ \dfrac{x-1}{x}[/tex3]
[tex3]\frac{x-1}{x}(x+1 - 2\sqrt{x+1}+1)> \ \dfrac{x-1}{x}[/tex3]

Então
[tex3]\frac{x-1}{x}\underbrace{(x+1 - 2\sqrt{x+1}+1)}_{L}> \ \dfrac{x-1}{x}\Right L>1[/tex3]
[tex3]x+2 - 2\sqrt{x+1}>1\Right -2\sqrt{x+1}>-x-1\Right 2\sqrt{x+1}<x+1\Right 4\cancel{(x+1)}<(x+1)^{\cancel{2}}[/tex3]
[tex3]x+1 > 4[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{x\,>\,3}}[/tex3]

Abs,

[aleixoreis]

Prezado miguel1747.

Estou tentando resolver esta questão que, pelo menos para mim, está meio difícil.
Tenho o livro do Aref e a resposta é: [tex3]1\lt x\lt \frac{1+\sqrt{5}}{2}\,\,ou\,\,x \gt \frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3].
[ ]'s.

[gabriel93]

Olá Miguel! Obrigado pela resolução. Mas repare que, por exemplo, o número [tex3]2[/tex3] é raíz, já que:

[tex3]\sqrt{2 - \dfrac{1}{2}} \ - \ \sqrt{1 - \dfrac{1}{2}} \ > \ \dfrac{2-1}{2}[/tex3]

[tex3]\sqrt{\dfrac{3}{2}} \ - \ \sqrt{\dfrac{1}{2}} \ > \ \dfrac{1}{2}[/tex3]

De fato [tex3]\sqrt{\dfrac{3}{2}} \ - \ \sqrt{\dfrac{1}{2}}[/tex3] é aproximadamente [tex3]0,51[/tex3]; o que é maior do que [tex3]\dfrac{1}{2}[/tex3].

Estou um pouco confuso quanto as inequações irracionais. Me desculpe por não ter postado a resposta antes, que no livro é:

[tex3]s = x \in R \ \mid \ 1 \ < \ x \ < \ \dfrac{1 \ + \ \sqrt{5}}{2} \ ou \ x \ > \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}[/tex3]

Obrigado pela ajuda!

[miguel747]

Prezado miguel1747.

Estou tentando resolver esta questão que, pelo menos para mim, está meio difícil.
Tenho o livro do Aref e a resposta é: [tex3]1\lt x\lt \frac{1+\sqrt{5}}{2}\,\,ou\,\,x \gt \frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3].
[ ]'s.

Mil desculpas cometi um erro no final da resolução, quando elevei ao quadrado esqueci de elevar o 2º termo da desigualdade:

[tex3]\frac{x^2-1}{x} - 2\sqrt{\frac{(x^2-1)}{x}.\frac{x-1}{x}} + \frac{x-1}{x} > (\frac{x-1}{x})^2[/tex3]
...


[tex3]\frac{x-1}{x}\underbrace{(x+1 - 2\sqrt{x+1}+1)}_{L}> \frac{x-1}{x}.\frac{x-1}{x}\Right L>\frac{x-1}{x}[/tex3]

O que muda consideravelmente a questão. Vou refaze-la e posto aqui. Abs.

[gabriel93]

Repare que:

[tex3]1 - \dfrac{1}{x} \ = \ \dfrac{x - 1}{x}[/tex3]

Então temos uma inequação da forma:

[tex3]\sqrt{a} - \sqrt{b} \ > \ b[/tex3]

Então tentei deduzir quais as condições para inequação ser satisfeita e cheguei no seguinte:

[tex3]a > b[/tex3]

[tex3]b \ge 0[/tex3]

[tex3](\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ > \ b^2[/tex3]

No problema, então temos:

i) [tex3]x - \dfrac{1}{x} \ > \ 1 - \dfrac{1}{x} \ \Longrightarrow \ x \ > \ 1[/tex3] (O que automaticamente já satisfaz [tex3]x \ne 0[/tex3])

ii) [tex3]1 - \dfrac{1}{x} \ \ge \ 0 \ \Longrightarrow \ \dfrac{x - 1}{x} \ \ge \ 0 \ \Longrightarrow \ x < 0 \ ou \ x \ge 1[/tex3]

i) e ii) se resume a [tex3]x > 1[/tex3]. Agora vamos para terceira condição. Já elevando os termos ao quadrado encontramos:

[tex3]x - \dfrac{1}{x} \ - \ 2 \cdot \sqrt{(x - \dfrac{1}{x}) \cdot (1 - \dfrac{1}{x})} \ + \ 1 - \dfrac{1}{x} \ > \ (\dfrac{x-1}{x})^2[/tex3]

[tex3]x - \dfrac{1}{x} \ - \ 2 \cdot \sqrt{\dfrac{(x-1)^2 \cdot (x+1)}{x^2}} \ + \ 1 - \dfrac{1}{x} \ > \ (\dfrac{x-1}{x})^2[/tex3]

[tex3]x - \dfrac{2}{x} + 1 \ - 2 \cdot \mid\dfrac{x-1}{x}\mid \cdot \sqrt{x+1} \ > \ (\dfrac{x-1}{x})^2[/tex3]

Por ii), temos [tex3]\dfrac{x- 1}{x} \ \ge \ 0 \ \Longrightarrow \ \mid\dfrac{x-1}{x}\mid = \dfrac{x - 1}{x}[/tex3]. Dando continuidade a inequação:

[tex3]x - \dfrac{2}{x} + 1 \ - 2 \cdot \dfrac{x-1}{x} \cdot \sqrt{x+1} \ > \ (\dfrac{x-1}{x})^2[/tex3]

[tex3]\dfrac{x^2 + x - 2}{x} \ > \ (\dfrac{x-1}{x})(\dfrac{x - 1}{x} + 2\sqrt{x+1})[/tex3]

[tex3]\dfrac{x^2 + x - 2}{x - 1} \ > \ \dfrac{x - 1}{x} + 2\sqrt{x+1}[/tex3]

[tex3]\dfrac{x^3 + x^2 - 2x - (x-1)^2}{x^2 - x} \ > \ 2\sqrt{x+1}[/tex3]

[tex3]\dfrac{x^3 + x^2 - 2x - x^2 + 2x - 1}{x^2 - x} \ > \ 2\sqrt{x+1}[/tex3]

[tex3]\dfrac{x^3 - 1}{x(x-1)} \ > \ 2\sqrt{x+1}[/tex3]

[tex3]\dfrac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x(x-1)} \ > \ 2\sqrt{x+1}[/tex3]

[tex3]\dfrac{x^2 + x + 1}{x} \ > \ 2\sqrt{x+1}[/tex3]

[tex3]\dfrac{x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1}{x^2} \ > \ 4x + 4[/tex3]

[tex3]x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \ > \ 4x^3 + 4x^2[/tex3]

[tex3]x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 1 \ > \ 0[/tex3]

A partir daí não consegui fatorar para resolver a inequação (se alguém souber agradeço). A calculadora deu a seguinte solução:

[tex3]x \ < \ - \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \ \ ou \ \ - \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \ < \ x \ < \ \dfrac{1 +\sqrt{5}}{2} \ \ ou \ \ x \ > \ \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}[/tex3]

Impondo [tex3]x > 1[/tex3]:

[tex3]1 \ < \ x \ < \ \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \ \ ou \ \ x \ > \ \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}[/tex3]