Ensino Superior ⇒ Integral de linha - campo conservativo

[VFernandes]

Olá amigos,

Estou tentando resolver o seguinte problema:
Calcular [tex3]\int\limits_{\gamma }^{}\frac{-y dx+x dy}{x^2+y^2}[/tex3] onde [tex3]\gamma[/tex3] é a fronteira da região limitada pelas curvas [tex3]y^2=2(x+2)[/tex3] e [tex3]x=a[/tex3], com [tex3]a > 0[/tex3], orientada no sentido horário.

A resposta que foi dada para este exercício é [tex3]-2\pi[/tex3], mas estou desconfiando que isto está errado. Permitam-me tentar mostrar o que fiz:

1) Sabe-se que a integral de linha, sobre uma curva fechada, de um campo conservativo é igual a zero.
2) Um campo é conservativo, se existe um potencial [tex3]\varphi[/tex3] cujo gradiente seja igual a [tex3]\bigtriangledown \varphi=(P,Q)[/tex3] onde, neste caso, [tex3]P=\frac{-y}{x^2+y^2}[/tex3] e [tex3]Q=\frac{x}{x^2+y^2}[/tex3].

Daí, podemos perceber que uma função potencial que satisfaça a condição (2) é [tex3]\varphi (x,y)=arctg(y/x)[/tex3].
Sendo, então, a curva, uma curva fechada e o campo, um campo conservativo. Não deveria a integral ser igual a zero?

Agradeço qualquer ajuda!

[miguel747]

Você poderia dizer de que livro é essa questão? A resposta não seria [tex3]-\pi/2[/tex3]?

O raciocínio é esse mesmo. Você já encontrou a função potencial que é dada por essa integral de linha, que no caso de um caminho fechado é igual a zero.

No entanto o caminho não é fechado. É fácil de ver que é uma parábola que é limitada pela reta horizontal x = a. Realmente é uma interpretação um pouco forçada mas cheguei a esse valor. Se for na curva fechada, realmente não tem conversa.

Abs,

[VFernandes]

Não sei o livro... é de uma lista de exercícios da POLI.
Consegui descobrir qual o problema... Acontece que há uma singularidade no (0,0), o que bagunça todos os teoremas sobre campo conservativo e teorema de Green.
Uma forma de resolver isso é fazer uma curva qualquer que envolva a singularidade e integrar o campo sobre esta curva na unha (sem usar teorema de Green ou Conservatividade), aí resolve.

Abraços,

[miguel747]

Hum é verdade...a função não fica definida em (0,0). Eu fiz pro caminho mais simples. Admitindo que ele é conservativo de (a,y) até (-a,y) na curva mais simples. Depois vai ter que fazer nos dois caminhos da parábola. De qualquer forma, se você já fez poderia postar a solução aqui. Só pre deixar registrado.

Abs,

[VFernandes]

Pois não:

Calcular [tex3]\int\limits_{\gamma }^{}\frac{-y dx+x dy}{x^2+y^2}[/tex3] onde [tex3]\gamma[/tex3] é a fronteira da região limitada pelas curvas [tex3]y^2=2(x+2)[/tex3] e [tex3]x=a[/tex3], com [tex3]a > 0[/tex3], orientada no sentido horário.

Primeiramente, chamemos de [tex3]\vec{F}=(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2})[/tex3] o campo vetorial a ser integrado.
Note que [tex3]rot \vec{F} = \vec{0}[/tex3].

Cria-se, então a curva [tex3]\alpha = (sin(t),cos(t)) t\in [0,2\pi ][/tex3] (circunferência centrada na origem, com raio 1, orientada no sentido horário).
O teorema de Green nos garante, dado que o rotacional é nulo, que [tex3]\int\limits_{\gamma }^{}\frac{-y dx+x dy}{x^2+y^2}=\int\limits_{\alpha }^{}\frac{-y dx+x dy}{x^2+y^2}[/tex3].
[tex3]\int\limits_{\alpha }^{}\frac{-y dx+x dy}{x^2+y^2}=\int\limits_{0}^{2\pi}\vec{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)dt=\int\limits_{0}^{2\pi}dt=-2\pi[/tex3]

Acho que é isso

[miguel747]

Entendi,

O engraçado que não precisou parametrizar as curvas dadas. Agora não entendi o lance do teorema de Green? O referido teorema não transforma uma integral de linha em uma integral dupla justamente para calcular a área de dentro dela?

Acho que na verdade você só modificou a curva para uma mais simples correto? Assim ficaria:

[tex3]F = (-cos(t), sen(t))\Right[/tex3] [tex3]\begin{cases}x=sen(t)\Right dx = cos(t)dt\\y=cos(t)\Right dy = -sen(t)dt\end{cases}[/tex3]

Na integral:

[tex3]\int_0^{2\pi} (-cost).cost dt + sent(-sent)dt =\int_0^{2\pi} -(cos^2t+sen^2t)dt = \boxed{-2\pi}[/tex3]