Olimpíadas ⇒ (OBM) Pares ordenados Tópico resolvido

[Cássio]

Encontre todos os pares ordenados [tex3](x; y)[/tex3] de números reais que satisfazem a equação

[tex3](x-y^2)^2+(x-y-1)^2=0[/tex3]

[gabriel93]

Um número real elevado ao quadrado pode resultar em um outro real que seja maior ou igual a zero. Analisando a equação podemos observar que:

[tex3]x - y^2 = 0[/tex3]

[tex3]x - y - 1 = 0 \ \Longrightarrow \ x = y + 1[/tex3]

[tex3]y + 1 - y^2 = 0 \ \Longrightarrow \ y^2 - y - 1 = 0[/tex3]

Cujas raízes são [tex3]\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \ e \ \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}[/tex3]

Os pares [tex3](x, y)[/tex3] que satisfazem a equação são:

[tex3]\(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}, \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\)[/tex3] e [tex3]\(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}, \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\)[/tex3]