IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1983) Regra de Três Composta Tópico resolvido

[alinebotelho]

Duas estradas de iguais dimensões começam simultaneamente a ser construídas por 15 operários cada uma delas. Mas, exclusivamente devido a dificuldades no terreno, percebe-se que enquanto uma turma avançou [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] na sua obra, a outra avançou [tex3]\frac{4}{5}[/tex3] da sua. Quantos operários deve-se retirar de uma e por na outra, para que as duas obras fiquem prontas ao mesmo tempo?

a) [tex3]4[/tex3]
b) [tex3]5[/tex3]
c) [tex3]6[/tex3]
d) [tex3]8[/tex3]
e) [tex3]10[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola.

Feito por Mateus

Vou fazer com duas regras de três compostas

[tex3]15 - t_1 - \frac{2}{3} - X[/tex3] [tex3](15[/tex3] operários realizam, em um tempo [tex3]t_1,[/tex3] [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] da estrada em um terreno [tex3]X)[/tex3]

[tex3]15 - t_1 - \frac{4}{5} - Y[/tex3] [tex3](15[/tex3] operários realizam, em um tempo [tex3]t_1,[/tex3] [tex3]\frac{4}{5}[/tex3] da estrada em um terreno [tex3]Y)[/tex3]

As variáveis são [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y,[/tex3] que são inversamente proporcionais a [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] e [tex3]\frac{4}{5}:[/tex3]

• [tex3]\Large\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}\large = \frac{Y}{X}[/tex3]
  [tex3]\frac{X}{Y} = \frac{6}{5}[/tex3]

O que queremos é:

• [tex3]a - t_2 - \frac{1}{3} - X[/tex3]
  [tex3](30-a) - t_2 - \frac{1}{5} - Y[/tex3]

A variável é o número de operários, que é diretamente proporcional a [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] e [tex3]X.[/tex3] Assim:

• [tex3]\frac{a}{30-a}=\Large \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{5}}\large \cdot\frac{X}{Y}\\
  \frac{a}{30-a}=\frac{5}{3}\cdot \frac{6}{5}\\
  \frac{a}{30-a}=2\\
  a = 60-2a \\
  a = 20[/tex3]

Logo, terão que ser remanejados [tex3]5[/tex3] operários

Feito por danjr5

Outra maneira;

1ª parte do serviço feito: [tex3]x[/tex3] dias
2ª parte do serviço feito: [tex3]y[/tex3] dias
Quantidade de operários removidos: [tex3]a[/tex3]
Obra executada: [tex3]k[/tex3]

1ª Turma:

• [tex3]\begin{array}{ccccccccc} \text{oper} &&& \text{obra} &&& \text{dias}\\
  15 &&& \frac{2k}{3}&&& x\\
  15+a &&& \frac{k}{3} &&&y\\
  &&& (\text{dir}) &&& (\text{inv})
  \end{array}[/tex3]

• [tex3]\frac{15}{15+a}=\frac{2k}{3}\cdot \frac{3}{k}\cdot \frac{y}{x}\\
  \frac{y}{x}=\frac{15}{2a+30}[/tex3]

2ª Turma:

• [tex3]\begin{array}{ccccccccc} \text{oper} &&& \text{obra} &&& \text{dias}\\
  15 &&& \frac{4k}{5}&&& x\\
  15-a &&& \frac{k}{5} &&&y\\
  &&& (\text{dir}) &&& (\text{inv})
  \end{array}[/tex3]

• [tex3]\frac{15}{15-a}=\frac{4k}{5}\cdot \frac{5}{k}\cdot \frac{y}{x}\\
  \frac{y}{x}=\frac{15}{60 -4a}[/tex3]

Igualando ambos, ficará

• [tex3]\frac{15}{2a+30}=\frac{15}{60 -4a}[/tex3]
  [tex3]2a + 30 = 60 - 4a[/tex3]
  [tex3]6a = 30[/tex3]
  [tex3]a = 5[/tex3] operários