Pré-Vestibular ⇒ ( Fundaçao Carlos Chagas ) Funçoes trigonometricas

[phanie]

Qual dos seguintes conjuntos de valores de [tex3]x[/tex3] poderia constituir um dominio para a funçao [tex3]log \,\,( sen x )[/tex3]?

Resposta

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resposta : [tex3]\pi[/tex3] / 2 < x < [tex3]\pi[/tex3]

[Swiichi]

Olá phanie!
Veja, temos uma composição de funções. Vamos esquematizar como essas funções estão trabalhando:

[tex3]x\longrightarrow \sen x \longrightarrow \log(\sen x )[/tex3]
A primeira seta simboliza [tex3]f(x)[/tex3] e a segunda, [tex3]g(t)[/tex3]. Escrevendo a composição:

[tex3]\begin{cases}f(x)=\sen x \\g(t)=\log(t)\end{cases}[/tex3]
Então, concluímos que [tex3]g\circ f=g\left(f(x)\right)=\log (\sen x )[/tex3]

Lembre-se que para a composição de funções ser válida, a imagem de [tex3]f[/tex3] tem que estar contida no domínio da [tex3]g[/tex3]. A imagem da função [tex3]f(x)=\sen x [/tex3] é o intervalo fechado [tex3][-1,1][/tex3].
Observe a função [tex3]g(t)=\log_{10}t[/tex3]
A base já está definida como um número positivo e diferente de zero. Resta que determinemos o outro requisito da função logarítmica: [tex3]t>0[/tex3].
Portanto, a imagem do seno de x deve ser POSITIVA. Dessa forma, encontramos x sempre no intervalo aberto [tex3](0,\pi)[/tex3], pois nesse intervalo o seno tem valor positivo e satisfaz a composta.

Dos infinitos intervalos possíveis, podemos escrever um deles como [tex3]\(\frac{\pi}{2},\pi\)[/tex3] ou [tex3]\frac{\pi}{2}<x<\pi[/tex3], espero que tenha entendido o motivo(e que essa questão seja de alternativa, se não é meio impossível determinar somente esse intervalo).

Abraço!

ps: A composta é válida pra todo x pertencente ao primeiro ou segundo quadrante do círculo trigonométrico.

[phanie]

O [tex3]\pi[/tex3] / 2 nao serve como solução ? Já q seu seu seno é = 1 ?

[Swiichi]

Serve sim, mas não sei de que forma ele isolou só esse intervalo de solução (por isso imaginei essa questão como teste).