(OBM - 2011) Geometria Plana: Pentágonos e triângulos

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theblackmamba Offline: Mensagens: 3723; Registrado em: 23 Ago 2011, 15:43; Localização: São Paulo - SP; Agradeceu: 806 vezes; Agradeceram: 2294 vezes

Mai 2012 19 21:19

(OBM - 2011) Geometria Plana: Pentágonos e triângulos

Mensagempor theblackmamba » 19 Mai 2012, 21:19

Mensagem por theblackmamba » 19 Mai 2012, 21:19

Mostre que, para todo pentágono convexo [tex3]P_1P_2P_3P_4P_5[/tex3] de área 1, existem dois triângulos [tex3]P_iP_{i+1}P_{i+2}[/tex3] e [tex3]P_jP_{j+1}P_{j+2}[/tex3] em que [tex3](P_6=P_1[/tex3] e [tex3]P_7=P_2)[/tex3] formados por três vértices consecutivos do pentágono, tais que

[tex3]\text{area}\,\,P_iP_{i+1}P_{i+2} \leq \frac{5-\sqrt{5}}{10} \leq \,\text{area}\,\,P_jP_{j+1}P_{j+2}[/tex3].

Editado pela última vez por FelipeMartin em 13 Jul 2024, 00:11, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3

"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein

theblackmamba

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Demonstração: Decomposição de um Triângulo em Pentágonos

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por rean » 27 Set 2007, 08:46 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

rean

Mostre que todo triângulo pode ser dividido em [tex3]9[/tex3] pentágonos convexos de áreas iguais.

Últ. msg

geobson

Massa !
geobson2petras1rean1: 3 Resp.; 1863 Exibições; Últ. msg por geobson
20 Fev 2022, 10:02

(OBM - 2007) Geometria Plana: Triângulos

Últ. msg por Auto Excluído (ID:276) « 25 Set 2007, 22:36
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 5
por Z-BosoN » 15 Set 2007, 22:52 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Z-BosoN

O triângulo [tex3]ABC[/tex3] é retângulo em [tex3]B.[/tex3] Sejam [tex3]I[/tex3] o centro da circunferência inscrita em [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]O[/tex3] o ponto médio do lado [tex3]AC.[/tex3] Se [tex3]\angle AOI = 45^{\circ} ,[/tex3] quanto mede, em graus, o ângulo [tex3]\angle ACB[/tex3]?

Não consegui essa de jeito nenhum!

Últ. msg

Auto Excluído (ID:276)

Estava vendo o ângulo [tex3]AIO[/tex3] como o [tex3]AOI,[/tex3] obrigado e desculpe-me.
Diego9962Z-BosoN1Auto Excluído (ID:276)3: 5 Resp.; 3616 Exibições; Últ. msg por Auto Excluído (ID:276)
25 Set 2007, 22:36

(OBM - 2007) Demonstração: Geometria Plana | Triângulos

Últ. msg por Auto Excluído (ID:276) « 03 Jun 2008, 21:05
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 2
por Auto Excluído (ID:276) » 05 Nov 2007, 21:00 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Auto Excluído (ID:276)

Seja [tex3]ABC[/tex3] um triângulo retângulo isósceles. [tex3]K[/tex3] e [tex3]M[/tex3] são pontos sobre hipotenusa [tex3]AB,[/tex3] com [tex3]K[/tex3] entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]M,[/tex3] e o ângulo [tex3]\angle KCM = 45^\circ .[/tex3] Prove que [tex3]AK^2 + MB^2 = KM^2[/tex3]

Últ. msg

Auto Excluído (ID:276)

q q isso acima...

como [tex3]\angle CAM = \angle KCM[/tex3] , os triângulos [tex3]\triangle CAM[/tex3] e [tex3]\triangle CKM[/tex3] são semelhantes.

[tex3]\frac{KM}{CM} = \frac{CK}{AC} \Rightarrow KM . AC = CM . CK[/tex3]

CM^2 + CK^2 -...
Auto Excluído (ID:276)3: 2 Resp.; 1913 Exibições; Últ. msg por Auto Excluído (ID:276)
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(OBM – 2011) Geometria

Últ. msg por petras « 22 Abr 2025, 21:33
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por mipomini » 17 Jan 2013, 12:33 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

mipomini

No triângulo ABC, os pontos D e E pertencem ao lado BC e são tais que BD = BA e CE =CA. Dado que m (DÂE) = 40, quanto mede, em graus, o ângulo BÂC?

Não consegui colocar a imagem,
ela está aqui nesse link http://www.medensina.com/prova2012.pdf...

Últ. msg

petras

@geobson
O gabarito correto é 100^o

(OBM 2011- 1a fase) Sejam [tex3]\alpha [/tex3]= BAE e[tex3]\beta [/tex3] = DAC.
Como BD=AB, [tex3]\angle [/tex3]BDA= 40 + [tex3]\alpha [/tex3].
Analogamente, [tex3]\angle [/tex3]AEC = 40 +[tex3]\beta [/tex3]...
geobson1mipomini1petras1theblackmamba1: 3 Resp.; 2736 Exibições; Últ. msg por petras
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Últ. msg por Tassandro « 31 Mai 2020, 06:23
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por theblackmamba » 12 Set 2011, 20:11 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

theblackmamba

Seja [tex3]P(x)[/tex3] um polinômio de coeficientes inteiros. Sabe-se que [tex3]P(x) = 2011[/tex3] tem pelo menos duas raízes inteiras distintas iguais a [tex3]1[/tex3] e [tex3]t[/tex3], e que [tex3]P(x) = 0[/tex3] tem pelo menos uma raiz inteira. Determine todos os possíveis valores de t.

Últ. msg

Tassandro

theblackmamba,
Seja [tex3]Q(x) = P(x) – 2011[/tex3]. Então [tex3]Q(x) = 0[/tex3] tem coeficientes inteiros e duas de suas raízes são [tex3]1[/tex3] e [tex3]t[/tex3].
Logo [tex3]Q(x) = (x – 1)(x – t)R(x)[/tex3], sendo [tex3]R(x)[/tex3] um polinômio...
Tassandro1theblackmamba1: 1 Resp.; 1049 Exibições; Últ. msg por Tassandro
31 Mai 2020, 06:23

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