Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Arco Duplo Tópico resolvido

[phanie]

No triângulo retângulo [tex3]ABC[/tex3], os catetos [tex3]AB[/tex3] e [tex3]AC[/tex3] medem [tex3]2+\sqrt{3}[/tex3] e [tex3]1[/tex3] respectivamente. Seja [tex3]D[/tex3] um ponto de [tex3]AB[/tex3] tal que [tex3]AD = AC[/tex3] . Calcule [tex3]tg(\alpha+b)[/tex3] em que [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são respectivamente, as medidas de [tex3]ADC[/tex3] e [tex3]ABC[/tex3].

Resposta

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RESPOSTA :[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

[theblackmamba]

Com o triângulo formado temos:

[tex3]tg\alpha=\frac{AC}{AD}[/tex3]
[tex3]tgb=\frac{AC}{AB}[/tex3]

Pela relação trigonométrica:
[tex3]tg(\alpha+b)=\frac{tg\alpha+tgb}{1-tg\alpha \cdot tgb}[/tex3]
[tex3]tg(\alpha+b)=\frac{\frac{AC}{AD} + \frac{AC}{AB}}{1-\frac{AC}{AD} \cdot \frac{AC}{AB}}[/tex3] [tex3]\Rightarrow AD=AC=1[/tex3]
[tex3]tg(\alpha+b)=\frac{\frac{1\cdot AB+1 \cdot 1}{\cancel{1 \cdot AB}}}{\frac{1 \cdot AB- 1^2}{\cancel{1\cdot AB}}}=\frac{AB+1}{AB -1}[/tex3]
[tex3]tg(\alpha+b)=\frac{2+\sqrt{3}+1}{2+\sqrt{3}-1} \times \frac{(1-\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})}=\frac{\cancel{3}-3\sqrt{3}+\sqrt{3}-\cancel{(\sqrt{3})^2}}{1^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{-2\sqrt{3}}{-2}\,\therefore \,\boxed{tg(\alpha+b)=\sqrt{3}}[/tex3]