Pré-Vestibular ⇒ (UFC - 2004) Função Composta Tópico resolvido

[gabrielifce]

Considere a função [tex3]f(x)=\frac{cx}{dx+3}[/tex3], definida para todo número real [tex3]x[/tex3], tal que [tex3]dx+3 \neq 0[/tex3], onde [tex3]c[/tex3] e [tex3]d[/tex3] são constantes reais.
Sabendo que [tex3]f(f(x))=x[/tex3] e [tex3]f^{(5)}(3)[/tex3] é [tex3]f(f(f(f(f(3)))))=-\frac{3}{5}[/tex3], podemos afirmar
que [tex3]c^2+d^2[/tex3] é igual a:

a) [tex3]5[/tex3]
b) [tex3]25[/tex3]
c) [tex3]61[/tex3]
d) [tex3]113[/tex3]
e) [tex3]181[/tex3]

Resposta

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Resp item B

[miguel747]

Boa tarde gabrielifce,

[tex3]f(x)=\frac{cx}{dx+3}[/tex3] e [tex3]f(f(x))=x\,\,(I)[/tex3] temos:

[tex3]f(x)=\frac{cx}{dx+3}\Rightarrow f(f(x)) =\frac{cf(x)}{d.f(x)+3} \underbrace{\Longrightarrow}_{(I)} x = \frac{cf(x)}{d.f(x)+3}\,\,(II)[/tex3]

Analisando as outras condições:

[tex3]f^{(5)}(3) = -3/5\\\\f^{(3)}(\underbrace{f(f(x=3))}_{f(f(3)) = 3}) = -3/5\\f^{(3)}(3) = -3/5\\\\f(\underbrace{f(f(x=3))}_{f(f(3)) = 3}) = -3/5\\\\\boxed{f(3) = -3/5}\,\,(III)[/tex3]

Desenvolvendo [tex3](III)[/tex3] temos:

[tex3]\frac{c.3}{3d+3} = -3/5\Rightarrow 5c+3d = -3[/tex3]

Letra B.

Abs.

Desenvolvento [tex3](II)[/tex3] temos:

[tex3]x = \frac{cf(x)}{d.f(x)+3} \Rightarrow 3 = \frac{c.(-3/5)}{d.(-3/5)+3}\Rightarrow 3c-9d = -45[/tex3]

Resolvendo o sistema: [tex3]\begin{cases}5c+3d = -3\\3c-9d = -45\end{cases}[/tex3]

Obtemos[tex3]c = -3[/tex3] e [tex3]d = 4[/tex3]

Assim: [tex3]c^2+d^2 = (-3)^2+(4)^2 =\boxed{25}[/tex3]