IME / ITA ⇒ (AMAN) Fórmulas de fatoração. Tópico resolvido

[thebestgui]

A solução da equação [tex3]\cos a-\cos x = \sen (x-a)[/tex3] é:

a) [tex3]x=a[/tex3]
b) [tex3]x=1+a[/tex3]
c) [tex3]\frac{a}{2}[/tex3]
d) [tex3]x=2^a[/tex3]
e) não tem solução

Resposta

---

A

[poti]

[tex3]\begin{cases}cos(x+y) = cosx.cosy - senx.seny\\cos(x-y) = cosx.cosy + senx.seny\end{cases}[/tex3]

Subtraindo as equações:

[tex3]cos(x+y) - cos(x-y) = -2senx.seny[/tex3]

Isso ajuda ? Tente resolver e responda se não conseguir.

Abraço.

[VALDECIRTOZZI]

Caro, Poti! Vi a dica que você deu ao colega, mas mesmo assim estou falhando miseravelmente em achar a solução. Poderia me dar alguma ajuda?

Grato

[poti]

Tentei fazer aqui e realmente, fico num ciclo que sempre retorna a [tex3]cosa - cosx[/tex3].

Acho que a questão é pra ser resolvida por alternativas. Veja que o enunciado pede "A solução", no singular, sendo claramente que [tex3]x=a[/tex3] resolve, pois [tex3]cosa - cosa = sen(0) = 0[/tex3].

Abraço.

[cajuADMIN]

Olá a todos,

Realmente, por se tratar de uma questão objetiva, vale (e muito) a solução dada pelo colega poti.

Vou apenas desenvolver a solução algébrica.

[tex3]\cos(a)-\cos(x) = \sen (x-a )[/tex3]

[tex3]\cos(a)-\cos(x) = \sen(x)\cos(a)-\sen(a)\cos(x)[/tex3]

Elevando ao quadrado:

[tex3]\cos^2 a-2\cos a\cos x+\cos^2 x = \sen^2 x\cos^2 a-2\sen x\cos a\sen a\cos x+\sen^2 a\cos^2 x[/tex3]

Rearranjando os termos:

[tex3]\cos^2a-\sen^2x\cos^2a+\cos^2x-\sen^2a\cos^2x = -2\sen x\cos a\sen a\cos x+2\cos a\cos x[/tex3]

Colocando os termos em comum em evidência:

[tex3]\cos^2(a)[1-\sen^2(x)]+\cos^2(x)[1-\sen^2(a)] = 2\cos(a)\cos(x)[1-\sen(x)\sen(a)][/tex3]

[tex3]\cos^2(a)\cos^2(x)+\cos^2(x)\cos^2(a) = 2\cos(a)\cos(x)[1-\sen(x)\sen(a)][/tex3]

[tex3]2\cos^2(a)\cos^2(x) - 2\cos(a)\cos(x)[1-\sen(x)\sen(a)]=0[/tex3]

[tex3]2\cos(a)\cos(x)\left[\cos(a)\cos(x) - 1+\sen(x)\sen(a)\right]=0[/tex3]

2 Soluções: [tex3]\begin{cases}\cos(x)\cos(a)= 0\,\,\rightarrow \,\,\boxed{x=0+2k\pi\hspace{10pt}a=0+2q\pi\,\,\,\,\,\,\,q,k\in\mathbb{N}}\\\cos(a)\cos(x) - 1+\sen(x)\sen(a)=0\,\,\,\rightarrow\,\,\,\cos(a-x)=1 \,\,\,\rightarrow \,\,\,\boxed{a-x=0+2k\pi,\,\,k\in\mathbb{N}}\end{cases}[/tex3]

Como o enunciado não cita que [tex3]a[/tex3] e [tex3]x[/tex3] estão no primeiro quadrante, ou seja, podem estar em qualquer quadrante), a resposta correta deveria ser [tex3]a-x=2k\pi,\,\,k\in\mathbb{N}[/tex3]. Onde, com [tex3]k=0[/tex3], temos [tex3]x=a[/tex3].

Ou seja, a letra A é uma resposta particular do enunciado.
Se o enunciado tivesse afixado que [tex3]x[/tex3] e [tex3]a[/tex3] pertencem ao primeiro quadrante, daí sim poderíamos dizer que a solução seria letra A.
Mas, note que [tex3]x=5\pi[/tex3] e [tex3]a=11\pi[/tex3] é uma outra solução, não contemplada pela letra A.

Mas, como não tem a solução N.D.A. eu marcaria letra A, mesmo sendo contra ela.

Grande abraço,
Prof. Caju