Pré-Vestibular ⇒ (UFRN) Relações Métricas nos Triângulos Tópico resolvido

[danielaugusto]

Segue a questão do vestibular da UFRN (Não sei o ano):

Considere um retângulo cujos lados medem [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3], inscrito em uma circurferência de raio [tex3]R[/tex3]. Sabendo-se que [tex3]p = 3q[/tex3], pode-se afirmar que o perímetro do retângulo é:

a) [tex3]\frac{8\sqrt{10}.R}{5}[/tex3]

b) [tex3]\frac{2\sqrt{10}.R}{5}[/tex3]

c) [tex3]\frac{4\sqrt{10}.R}{5}[/tex3]

d) [tex3]\frac{16\sqrt{10}.R}{5}[/tex3]


Gabarito: Letra a)

Se alguém puder fazer uma forcinha e explica direitinho eu ficarei grato

[poti]

Olá Daniel.

Sou ruim com desenhos, mas acho que nem precisaremos dele aqui. Se o retângulo está inscrito na circunferência, sua diagonal corresponde ao diâmetro dessa circunferência, concorda comigo ? Se sim, agora ficou moleza.

[tex3]Diametro = 2R[/tex3]

Por Pitágoras:

[tex3]4R^2 = p^2 + q^2[/tex3]

Do enunciado, fazemos a substituição [tex3]p = 3q[/tex3]:

[tex3]4R^2 = 9q^2 + q^2[/tex3]

[tex3]4R^2 = 10q^2[/tex3]

[tex3]q^2 = \frac{4R^2}{10}[/tex3]

[tex3]q = \frac{2R}{\sqrt{10}}[/tex3]

Racionalizando:

[tex3]\boxed{q = \frac{2R}{\sqrt{10}}.\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{2R\sqrt{10}}{10} = \frac{R \sqrt{10}}{5}}[/tex3]

Mas [tex3]p = 3q[/tex3], então:

[tex3]\boxed{p = \frac{3R\sqrt{10}}{5}}[/tex3]

O perímetro do retângulo é dado pela soma dos lados: [tex3]2p + 2q[/tex3]:

[tex3]Perimetro = \frac{2.3R\sqrt{10}}{5} + \frac{2.R\sqrt{10}}{5} = \boxed{\frac{8R\sqrt{10}}{5}}[/tex3]

Letra A

Grande Abraço!

[danielaugusto]

Tudo muito Claro!

Eu não estava vendo essa relação do diâmetro da circunferência com a diagonal do triângulo. Por isso não conseguia desenvolver a questão toda.

Muito obrigado Poti!