Física I ⇒ Energia Potencial Gravitacional

[luizslim]

A expressão Ep= mgh aplica-se somente nas vizinhanças da superficie da terra.A expressão geral para energia potencial de uma massa m colocada à uma distância R do centro da terra(de massa mt) é Ep=-Gmt m/R .Escreva R=Rt + h, em que Rt é o raio da terra, e mostre que quando h menor que Rt,essa expressão geral se reduz ao caso especial e encontre uma expressão para g.Você vai precisar usar a expansão [tex3](1+x)^{-1}[/tex3]=1-x + ... .

[Radius]

Seja um objeto puntiforme de massa [tex3]m[/tex3] a uma altura [tex3]h[/tex3] em relação ao solo. Então a energia potencial desse objeto será:

[tex3]U=-\frac{GM_Tm}{R_T+h}[/tex3]

[tex3]=-\frac{GM_Tm}{R_T(1+\frac{h}{R_T})}[/tex3]

[tex3]=-\frac{GM_Tm}{R_T}(1+\frac{h}{R_T})^{-1}[/tex3]

Supondo que [tex3]h<<R_T[/tex3] podemos usar a aproximação: [tex3](1+x)^{n}=1+nx[/tex3]
(essa aproximação só vale para x muito pequeno, que é o nosso caso)[tex3][/tex3]
Continuando:

[tex3]U=-\frac{GM_Tm}{R_T}(1+\frac{h}{R_T})^{-1}=-\frac{GM_Tm}{R_T}(1-\frac{h}{R_T})=[/tex3]

[tex3]=-\frac{GM_Tm}{R_T}+\frac{GM_T}{R_T^2}mh[/tex3]

Note que [tex3]\frac{GM_T}{R_T^2}=g[/tex3] é simplesmente a aceleração da gravidade.
Logo,

[tex3]\boxed{U=U_0+mgh}[/tex3]

em que [tex3]U_0[/tex3] é o potencial na superfície da terra. Assim, uma diferença de energia potencial, do solo até uma altura h será isso:

[tex3]\Delta U=mgh[/tex3]

[luizslim]

muito obrigado.