Pré-Vestibular ⇒ (UNIFACS-2012.2) Polinômios Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Dado o polinômio [tex3]P(x)=2x^3-10x^2+8x[/tex3], pode-se afirmar que a soma das raízes de [tex3]P(5-2^{x+1})[/tex3] é igual a

01) [tex3]-\log_2{5}[/tex3]
02) [tex3]0[/tex3]
03) [tex3]5[/tex3]
04) [tex3]1+\log_2{5}[/tex3]
05) [tex3]\log_2\frac{5}{2}[/tex3]

Resposta

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05

[Cássio]

Olá Jose Carlos!

Veja que se [tex3]P(5-2^{x+1})=0[/tex3], é porque quando substituirmos [tex3]5-2^{x+1}[/tex3] em [tex3]P,[/tex3] o resultado é zero, isto é, [tex3]5-2^{x+1}[/tex3] é igual a uma das raízes de [tex3]P.[/tex3] Vamos calcular as raízes de [tex3]P:[/tex3]

Como o coeficiente independente é 0, então [tex3]0[/tex3] é uma raiz. Fatorando, temos

[tex3]2x^3-10x^2+8x=0[/tex3]

[tex3]\iff \frac{2x^3}{2}-\frac{10x^2}{2}+\frac{8x}{2}=\frac{0}{2}[/tex3]

[tex3]\iff x(x^2-5x+4)=x(x-1)(x-4)=0[/tex3]

Daí vemos que as raízes de [tex3]P(x)[/tex3] são [tex3]0,1,4.[/tex3] Logo, para [tex3]5-2^{x+1}[/tex3] ser raiz, ele tem que ser um desses valores, ou seja:

[tex3](I)\ \ 5-2^{x+1}=0[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow\ \ 2^{x+1}=5[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow\ \ x+1=\log_25[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow\ \ x=\log_25-1=\log_25-\log_22=\log_2\left(\frac{5}{2}\right)[/tex3]

[tex3](II)\ \ 5-2^{x+1}=1[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow\ \ 2^{x+1}=4\ \ \ \Longrightarrow\ \ x=1[/tex3]


[tex3](III)\ \ \ 5-2^{x+1}=4\Longrightarrow \ \ \ 2^{x+1}=1\Longrightarrow\ \ \ x=-1.[/tex3]

Logo, a soma de todos os "x" é [tex3]\log_2\left(\frac{5}{2}\right)+1-1=\log_2\left(\frac{5}{2}\right)[/tex3]

Número 5.