Olimpíadas ⇒ (OBM - 2007) Geometria Plana: Ângulos na Circunferência Tópico resolvido

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Seja [tex3]ABC[/tex3] um triângulo e [tex3]O[/tex3] seu circuncentro. Seja ainda [tex3]P[/tex3] a intersecção das retas [tex3]BO[/tex3] e [tex3]AC[/tex3] e [tex3]S[/tex3] a circunferência circunscrita a [tex3]AOP.[/tex3] Suponha que [tex3]BO = AP[/tex3] e que a medida do arco [tex3]OP[/tex3] em [tex3]S[/tex3] que não contém [tex3]A[/tex3] é [tex3]40^\circ.[/tex3] Determine a medida do ângulo [tex3]\angle OBC[/tex3].
Obs: A circunferência circunscrita de um triângulo é a circunferência que passa pelos seus vértices e seu centro é chamado de circuncentro.

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como o arco OP mede 40º , o ângulo OAP medirá 20º. Se BO = AP ; logo AP = AO. Assim sendo o triângulo AOP é isósceles e seus ângulos congruentes medirão 80º. O triângulo AOC é isósceles com 2 lados iguais ao raio ; como seu ângulos congruentes mede 20º , o terceiro medirá [tex3]180 - 80 - 40[/tex3] = 60º . O suplemento de 60º é o ângulo do triângulo isósceles BOC, que é 120º. COmo ele é isósceles, seus ângulos congruentes medirão [tex3]30[/tex3] º. Logo, o ângulo OBC é igual a [tex3]30[/tex3] º.