IME / ITA ⇒ (EPCAR - 2007) Equação do 2° Grau e o Teorema de Pitágoras Tópico resolvido

[Wachsmuth]

As raízes da equação [tex3](2m+1)x^2-(3m-1)x+m=0[/tex3] são medidas dos catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa [tex3]1[/tex3]. O valor de [tex3]m[/tex3] é um número:

a) ímpar
b) par
c) irracional
d) racional não inteiro

[cajuADMIN]

Olá Wachsmuth,

Bom, digamos que as raízes da equação são [tex3]a[/tex3] e [tex3]b.[/tex3] Portanto, pela fórmula da soma e do produto das raízes, temos:

• [tex3]a+b = \frac{3m-1}{2m+1}[/tex3]
  
  [tex3]a \cdot b = \frac {m}{2m+1}[/tex3]

Ainda, [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são catetos de um triângulo com hipotenusa igual a [tex3]1.[/tex3] Aplicando Pitágoras:

• [tex3]a^2+b^2=1[/tex3]

Com estas três equações temos um sistema de três incógnitas.
Para resolvê-lo, façamos o seguinte: elevando a primeira equação ao quadrado:

• [tex3]a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 = \left( \frac{3m-1}{2m+1}\right)[/tex3]

Veja que, nesta ultima equação, apareceu [tex3]a^2+b^2[/tex3] e também [tex3]a \cdot b[/tex3], que sabemos quanto valem (são as outras equações do sistema). Podemos substituir os valores e teremos uma equação só com [tex3]m[/tex3] que, resolvendo, chega-se a:

• [tex3]m=0[/tex3] ou [tex3]m=12[/tex3]

Atenciosamente
Prof. Caju
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