IME/ITA ⇒ (ITA 2001) Superposição de Movimentos Harmônicos Simples Tópico resolvido

[Leandro]

Gostaria que alguém encontrasse um jeito decente pra resolver essa questão, não apenas ver o resultado cartesiano dos pontos e concluir o tipo de lugar geométrico resultante.

Uma partícula descreve um movimento cujas coordenadas são dadas pelas seguintes equações:
[tex3]x(t) = x_0\cdot cos (w t)[/tex3] e [tex3]y (t) = y_0\cdot sen \left(w t + \frac{\pi}{6}\right)[/tex3], em que [tex3]w[/tex3], [tex3]x_0[/tex3] e [tex3]y_0[/tex3] sao constantes positivas. A trajetória da partícula é:

a) Uma circunferência percorrida no sentido anti-horário.
b) Uma circunferência percorrida no sentido horário.
c) Uma elipse percorrida no sentido anti-horário.
d) Uma elipse percorrida no sentido horário.
e) Um segmento de reta.

Segundo o gabarito, a alternativa correta é a

Resposta

---

C

.

[poti]

Isso tem a ver com as Figuras de Lissajous. Faz tempo que estudei isso, não me lembro ao certo, mas procure algo sobre.

Grande Abraço!

[emanuel9393MOD]

Olá, Leandro!

Conforme as curvas de Lissajous-Bowditch, quando as duas coordenadas apresentam a mesma pulsação ([tex3]\omega[/tex3]) a figura formada será uma elipse. Como a fase inicial da ordenada está entre [tex3]0 \,\, rad[/tex3] e [tex3]\pi \,\, rad[/tex3] o sentido de rotação será anti-horário.

Um abraço!

[FilipeCaceres]

Olá emanuel9393,

O que nos garante que a ordenada estando entre [tex3][0,\pi][/tex3] o sentido será anti-horário?

Abraço.

[emanuel9393MOD]

Olá, Filipe!

É um prazer revê-lo.
Respondendo a sua pergunta:
Não é a ordenada, e sim, a fase inicial do MHS no sentido do eixo das ordenadas. Na verdade, eu errei em falar que o sentido depende da fase inicial. O sentido depende somente da pulsação [tex3]\omega[/tex3]. Como a pulsação é positiva, o movimento é anti-horário.

Um abraço!

[FilipeCaceres]

Grande Emanuel,

Agora sim, a forma que você havia descrito inicialmente tinha ficado muito estranho.

Um Grande abraço.

[Jhonatan]

Olá, pessoal.
Alguém poderia resolver essa questão passo-a-passo ? Obrigado

[undefinied3]

A resolução já é a postada acima, é reconhecimento de superposição de funções trigonométricas. Da mesma maneira que superposição de MHS's defasados de 90 graus em eixos perpendiculares gera uma circunferência (afinal, [tex3]x=\cos \theta[/tex3] e [tex3]y=\sen \theta[/tex3] no fundo é [tex3]y=\cos (90-\theta)[/tex3]), outras defasagens e outras frequências angulares irão formar outras figuras. Por exemplo, dá pra formar uma parábola também:
[tex3]x=\cos (\theta)[/tex3]
[tex3]y=\cos (2\theta)=2\cos ^2(\theta)-1=2x^2-1[/tex3]
Ou seja, obtemos [tex3]y=2x^2-1[/tex3]
No caso, elipses são feitas com a mesma frequência angular e defasagens diferentes de 90 graus. O sentido, como explicado pelo colega acima, tem a ver com essa fase inicial também.
Se você quer ver como que aquilo dá uma elipse algebricamente, para esse caso específico é fácil mostrar:
[tex3]x=\cos (wt)[/tex3]
[tex3]y=\sen \(wt+\frac{\pi}{6}\)=\sen (wt)\cos \frac{\pi}{6}+\sen \frac{\pi}{6}\cos (wt)=\sqrt{1-x^2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{x}{2}[/tex3]
[tex3](y-\frac{x}{2})^2=\frac{3(1-x^2)}{4} \rightarrow y^2-xy+\frac{x^2}{4}=\frac{3}{4}-\frac{3x^2}{4}[/tex3]
[tex3]x^2-xy+y^2-\frac{3}{4}=0[/tex3]
Comparando com [tex3]Ax^2+Bxy+Cy^2[/tex3], temos [tex3]B=-1[/tex3], [tex3]A=C=1[/tex3]. Como [tex3]B^2-4AC=1-4=-3<0[/tex3], temos então uma elipse rotacionada.

[Jhonatan]

Muito obrigado pela ajuda.