Pré-Vestibular ⇒ (UFSC) Fórmulas do Arco Triplo e Transformação em Produto Tópico resolvido

[adlernobre]

Se [tex3]\cos(2x) = \frac{1}{3}[/tex3], onde [tex3]x \in (0, \pi)[/tex3], então o valor de [tex3]y=\frac{\sen(3x)-\sen(x)}{\cos(2x)}[/tex3] é:

a) [tex3]-1[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{3}{\sqrt{3}}[/tex3]
d) [tex3]\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex3]
e) [tex3]1[/tex3]

Resposta

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Resposta: D

[cajuADMIN]

Olá adiernobre,

Seja bem vindo ao fórum. Por favor, leia o tutoria de "Como digitar equações" para aprender como colocar de forma clara as equações de suas questões.

Primeira coisa que devemos fazer nesta sua questão é ver se conseguimos decidir em qual quadrante está o x (poi o enunciado diz que está ou no primeiro ou no segundo quadrante quando diz [tex3]x\in (0,\pi)[/tex3].

Se temos [tex3]\cos(2x)=\frac 13[/tex3], ou seja, [tex3]\cos(2x)>0[/tex3], isso nos indica que se o dobro de x está no primeiro quadrante, então x também estará.

Sendo assim, vamos para nossa resolução.

Começamos usando a relação fundamental da trigonometria [tex3]\sen ^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1[/tex3] para encontrar o valor de [tex3]\sen (2x)[/tex3]:

[tex3]\cos(2x)=\frac 13\,\,\,\rightarrow \,\,\,\boxed{\sen (2x)=\frac{2\sqrt{2}}{3}}[/tex3]

Agora com estas duas informações, podemos encontrar os valores de [tex3]\sen (x)[/tex3] e [tex3]\cos(x)[/tex3]:

[tex3]\cos(2x)=\frac 13\,\,\,\rightarrow \,\,\,\cos^2(x)-\sen ^2(x)=\frac{1}{3}\,\,\,\rightarrow \,\,\,2\cos^2(x)-1=\frac{1}{3}\,\,\,\rightarrow \,\,\,\boxed{\cos(x)=\frac{\sqrt{6}}{3}}[/tex3]

Novamente com a relação fundamental da trigonometria temos o valor de [tex3]\sen (x)[/tex3]:

[tex3]\cos(x)=\frac{\sqrt{6}}{3}\,\,\,\rightarrow \,\,\,\boxed{\sen (x)=\frac{\sqrt 3}{3}}[/tex3]

Com todas estas informações que foram enquadradas, podemos voltar para o que foi pedido, o valor de [tex3]y[/tex3]:

[tex3]y=\frac{\sen (3x)-\sen (x)}{\cos(2x)}[/tex3]

[tex3]y=\frac{\sen (2x+x)-\sen (x)}{\cos(2x)}[/tex3]

[tex3]y=\frac{\sen (2x)\cos(x)+\sen (x)\cos(2x)-\sen (x)}{\cos(2x)}[/tex3]

Podemos, então, substituir todos os valores encontrados anteriormente na equação acima:

[tex3]y=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{\sqrt 3}{3}\cdot \frac 13-\frac{\sqrt 3}{3}}{\frac 13}[/tex3]

Desenvolvendo as continhas, temos:

[tex3]\boxed{\boxed{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[Radius]

Também podemos usar essa formulazinha:

[tex3]\sen a-\sen b=2\sen \left(\frac{a-b}{2}\right)\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)[/tex3]

Então podemos escrever:

[tex3]\sen 3x-\sen x=2\sen x \cos 2x[/tex3]

[tex3]\therefore \,\, y=\frac{\sen 3x-\sen x}{\cos 2x}=\frac{2\sen x \cos 2x}{\cos 2x}=\boxed{2\sen x}[/tex3]

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A partir de [tex3]\cos2x=\frac 13[/tex3] vamos tirar sin(x):
[tex3]\cos^2x-\sen^2x=\frac{1}{3}[/tex3]
[tex3]-2\sen^2x=-\frac{2}{3}[/tex3]
[tex3]\sen x=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]
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Portanto [tex3]y=2\sen x=\boxed{\frac{2\sqrt{3}}{3}}[/tex3]