Pré-Vestibular ⇒ (Unesp - 2006) Equações Trigonométricas Tópico resolvido

[soaresv]

Dada a expressão trigonométrica [tex3]cos (5x) - cos( x + \frac{\pi}{2}) = 0[/tex3], resolva em [tex3]\mathbb{R}[/tex3] para x [tex3]\in [0; \frac{\pi}{2}][/tex3].

Resposta

---

S = {[tex3]\frac{\pi }{8}[/tex3]; [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3]}

[Cássio]

Olá soaresv!

[tex3]\cos (5x)=\cos(x + \frac{\pi}{2})[/tex3]

Como [tex3]x[/tex3] pertence ao primeiro quadrante, então [tex3]x+\frac{\pi}{2}[/tex3] está no segundo. Então só ocorre de um outro ângulo [tex3]\alpha[/tex3] ter o mesmo cosseno de [tex3]\pi \le \beta\le \frac{\pi}{2}[/tex3], se [tex3]\alpha=\beta[/tex3] ou [tex3]\alpha=2\pi-\beta.[/tex3] Então na nossa questão deve ocorrer:

[tex3]5x=x+\frac{\pi}{2}[/tex3] ou [tex3]5x=2\pi-(x+\frac{\pi}{2})=\frac{3\pi}{2}-x[/tex3]

No primeiro caso, temos

[tex3]5x=x+\frac{\pi}{2}\ \ \iff\ \ 4x=\frac{\pi}{2}\ \ \iff \ \ x=\frac{\pi}{8}.[/tex3]

No segundo caso:

[tex3]5x=\frac{3\pi}{2}-x\ \ \iff\ \ 6x=\frac{3\pi}{2}\ \ \iff\ \ x=\frac{3\pi}{12}=\frac{\pi}{4}[/tex3]

O conjunto solução é [tex3]\mathcal{S}= \left\{\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{4}\ \right\}[/tex3]

Abraço.

[soaresv]

Cassio, muito obrigado pela resposta!
Mas, infelizmente não consegui entender esse exercício =/

[Cássio]

Cassio, muito obrigado pela resposta!
Mas, infelizmente não consegui entender esse exercício =/

Você não entendeu o enunciado ou a resposta ?

[soaresv]

Aaa, creio que entendi... como se trata do cosseno, que é uma função par, ou seja cos(x) = cos(-x), já se deduz que o seu correspondente de mesmo valor é a versão negativa de [tex3]x+\frac{\pi}{2}[/tex3], no caso: [tex3]-x+\frac{-\pi}{2}[/tex3], então, é só resolver as equações em [tex3]\mathbb{R}[/tex3], nesse caso, adicionar +[tex3]2\pi k[/tex3] e colocar o resultado de acordo com o intervalo:

x' = [tex3]\frac{\pi}{8} + \frac{\pi K}{2}[/tex3] e x'' = [tex3]-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi K}{3}[/tex3]

Como o intervalo é [tex3][0; \frac{\pi}{2}][/tex3], então:

[tex3]\frac{\pi}{8} + \frac{\pi*1}{2}[/tex3] = [tex3]\frac{5\pi}{8}[/tex3] - NÃO CONVÉM
[tex3]\frac{\pi}{8} + \frac{\pi*0}{2}[/tex3] = [tex3]\frac{\pi}{8}[/tex3] - OK
[tex3]-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi*1}{3}[/tex3] = [tex3]\frac{3\pi}{12}[/tex3] = [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3] - OK

S = [tex3]{x \in \mathbb{R} | x = \frac{\pi}{8} ou x = \frac{\pi}{4}}[/tex3]
Meu raciocínio está correto?

MUITO OBRIGADO mesmo pela grande ajuda Cassio!

[jacobi]

Dada a expressão trigonométrica [tex3]cos (5x) - cos( x + \frac{\pi}{2}) = 0[/tex3], resolva em [tex3]\mathbb{R}[/tex3] para x [tex3]\in [0; \frac{\pi}{2}][/tex3].

Resposta

---

S = {[tex3]\frac{\pi }{8}[/tex3]; [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3]}

Faça uma circunferência e divida-a em 4 quadrantes.
O cosseno é positivo no primeiro e quarto quadrante.
Assim, o cos x = cos (360 - x) --> função par.
Logo, 5x = x + pi/2 --> é óbvio.
A segunda solução é 5x = 2pi - (x + pi/2)

[Cássio]

Aaa, creio que entendi... como se trata do cosseno, que é uma função par, ou seja cos(x) = cos(-x), já se deduz que o seu correspondente de mesmo valor é a versão negativa de [tex3]x+\frac{\pi}{2}[/tex3], no caso: [tex3]-x+\frac{-\pi}{2}[/tex3], então, é só resolver as equações em [tex3]\mathbb{R}[/tex3], nesse caso, adicionar +[tex3]2\pi k[/tex3] e colocar o resultado de acordo com o intervalo:

x' = [tex3]\frac{\pi}{8} + \frac{\pi K}{2}[/tex3] e x'' = [tex3]-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi K}{3}[/tex3]

!

Agora eu que não entendi por que você colocou um k nas duas equações.

[soaresv]

Cassio, simples, o próprio exercicio pede que a resolução em [tex3]\mathbb{R}[/tex3], o que implica em [tex3]x+\frac{\pi}{2} +2 \pi K[/tex3] e [tex3]-x-\frac{\pi}{2}+2 \pi K[/tex3], apartir disso, é só desenvolver normalmente como vc fez e no fim, definir um número para K, como fiz no final da resolução para determinar qual é a solução dentro do primeiro quadrante.

Um abraço, até+