IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1981) Sistema de Numeração Decimal Tópico resolvido

[joaoums]

Um número natural de [tex3]6[/tex3] algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo [tex3]1.[/tex3] Levando-se este algarismo [tex3]1,[/tex3] para o último lugar, à direita, conservando a seqüência dos demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é:

a) [tex3]100.006[/tex3]
b) múltiplo de [tex3]11[/tex3]
c) múltiplo de [tex3]4[/tex3]
d) múltiplo de [tex3]180.000[/tex3]
e) divisível por [tex3]5[/tex3]

[Auto Excluído (ID:276)]

• [tex3]3\cdot (1ABCDE) = ABCDE1[/tex3]
  
  [tex3]3E = 1[/tex3]

O único número natural de [tex3]1[/tex3] a [tex3]9,[/tex3] que multiplicado por [tex3]3,[/tex3] resulta num número terminado em [tex3]1[/tex3] é o [tex3]7.[/tex3] Logo [tex3]E = 7.[/tex3]

• [tex3]3D + 2 = 7[/tex3]

Usando o mesmo raciocínio, encontramos [tex3]D = 5.[/tex3]

• [tex3]3C + 1 = 5 \Rightarrow C = 8[/tex3]
  
  [tex3]3B + 2 = 8\Rightarrow B = 2[/tex3]
  
  [tex3]3A = 2\Rightarrow A = 4[/tex3]
  
  [tex3]1ABCDE = 142857[/tex3]

[Thales Gheós]

O número primitivo é [tex3]100000+a.[/tex3]
O segundo número é [tex3]10a+1.[/tex3]

• [tex3]10a+1=3(100000+a)\Longrightarrow 10a+1=300000+3a\Longrightarrow a=42857.[/tex3]

O número primitivo é [tex3]142857=12897\cdot 11.[/tex3]

[claudiomarianosilveira]

Um número é divisível por [tex3]11 ,[/tex3] quando a soma dos algarismos de ordem par, subtraída da soma dos algarismos de ordem ímpar, resultar em um número divisível por [tex3]11.[/tex3]

Para [tex3]142857[/tex3] temos:

Algarismos de ordem par: [tex3]4,8[/tex3] e [tex3]7[/tex3]
Algarismos de ordem ímpar: [tex3]1,2[/tex3] e [tex3]5[/tex3]

Soma dos algarismos de ordem par: [tex3]S_p=4+8+7=19[/tex3]
Soma dos algarismos de ordem ímpar: [tex3]S_i=1+2+5=8[/tex3]

• [tex3]S_p-S_i= 19-8=11.[/tex3]

Como [tex3]11[/tex3] é divisível por [tex3]11,[/tex3] [tex3]142857[/tex3] é divisível por [tex3]11[/tex3] e, consequentemente, é multiplo de [tex3]11.[/tex3]