Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 1985) Equações Trigonométricas Tópico resolvido

[gabrielifce]

Sendo [tex3]\alpha[/tex3] uma solução da equação [tex3]\tg^{3}\alpha=\cos^{2}\alpha-\sen^{2}
\alpha[/tex3], o valor de [tex3]\tg^{2} \alpha[/tex3]

a) [tex3]\sqrt{2}-1[/tex3]
b) [tex3]\sqrt{2}+1[/tex3]
c) [tex3]\sqrt{3}-1[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{3}+1[/tex3]
e) [tex3]\sqrt{2}+3[/tex3]

Resposta

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Resp item A

[poti]

Tentei por um bom tempo mas não consegui. Alguém se candidata ?

[Brunojasp]

Esta equação teve um erro de digitação, acho que é tg² e não tg³

[Radius]

tem razão, é tangente ao quadrado e não ao cubo. Aí sim fecha a resposta
com o gabarito. Resolvendo a equação consertada:

[tex3]\tg^{2}\alpha=\cos^{2}\alpha-\sen^{2}\alpha[/tex3]

[tex3]\frac{1-\cos^2 \alpha }{\cos^2 \alpha}=\cos^{2}\alpha-1+\cos^{2}\alpha[/tex3]

fazendo uma subst. de variável, [tex3]y=\cos^2\alpha[/tex3]

[tex3]\frac{1-y}{y}=2y-1 \\ \\ 2y^2=1[/tex3]

[tex3]\therefore \,\,\,\, y=\cos^2 \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

e então podemos achar o quadrado do seno de alpha:

[tex3]\sen^2\alpha=1-\cos^2\alpha=\frac{2-\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Logo a tangente ao quadrado é:

[tex3]\tg^2\alpha=\frac{\sen^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\boxed{\sqrt{2}-1}[/tex3]

Letra A.